Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy

Câu hỏi số 675433:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở cùng một phía với mặt phẳng ấy, lần lượt các điểm M, N sao cho (MBD) vuông góc với (NBD). Tìm giá trị nhỏ nhất \({V_{\min }}\) của tứ diện MNBD.

A. \(\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{12\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

B. \(\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{6\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

C. \(\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

D. \(\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{9\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675433

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp gắn hệ trục toạ độ Oxyz.

Giải chi tiết

Đặt \(AM = m,\,\,CN = n\,\,\left( {m,n > 0} \right)\).

Chọn hệ trục toạ độ sao cho \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {a;0;0} \right),\,D\left( {0;b;0} \right)\), \(M\left( {0;0;m} \right),\,\,N\left( {a;b;n} \right)\).

Phương trình mặt chắn của mặt phẳng (MBD) là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{m} = 1\).

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng (MBD) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{m}} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BD} = \left( { - a;b;0} \right)\\\overrightarrow {BN} = \left( {0;b;n} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BN} } \right] = \left( {bn;an; - ab} \right) = abn\left( {\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}; - \dfrac{1}{n}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng (NBD) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}; - \dfrac{1}{n}} \right)\).

Vì \(\left( {MBD} \right) \bot \left( {NBD} \right)\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} - \dfrac{1}{{mn}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{mn}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} \Leftrightarrow mn = \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( { - a;0;m} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BN} } \right].\overrightarrow {BM} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {abn + abm} \right| = \dfrac{1}{6}ab\left( {m + n} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({V_{ABCD}} \ge \dfrac{1}{6}ab.2\sqrt {mn} = \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Vậy \({V_{\min }} = \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.