Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình chóp \(M.ABCD\) có đỉnh \(M\) thay đổi luôn nằm

Câu hỏi số 675478:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình chóp \(M.ABCD\) có đỉnh \(M\) thay đổi luôn nằm trên mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 1\), đáy \(ABCD\) là hình vuông có tâm \(H\left( {1;2;3} \right),\,\,A\left( {3;2;1} \right)\). Thể tích lớn nhất của khối chóp bằng

A. \(64\).

B. \(\dfrac{{32}}{3}\).

C. \(\dfrac{{128}}{3}\).

D. \(\dfrac{{64}}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675478

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;6} \right)\), bán kính \(R = 1\)

Lại có: \(IH = \sqrt {11} ,\,\,IA = 3\sqrt 3 \)

Do đó \(H,\,\,A\) nằm ngoài mặt cầu

\(ABCD\) có \(HA = 2\sqrt 2 \Rightarrow AB = AH\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 4\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 16\)

Khi đó \({V_{M.ABCD}} = \dfrac{1}{3}MK.{S_{ABCD}} = \dfrac{{16}}{3}MK\)

Gọi \(J,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(I,\,\,M\) trên \(AH\)

Ta có: \(MK \le MN \le MJ \le IM + IJ\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(M = IJ \cap \left( S \right)\)

\( \Rightarrow {V_{M.ABCD}} \le \dfrac{{16}}{3}\left( {R + d\left( {I,AH} \right)} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( { - 1; - 1;5} \right),\,\,\overrightarrow {AH} = \left( { - 2;0;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AI} ,AH} \right] = \left( { - 2; - 8; - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I,AH} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,AH} \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AH} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\\ \Rightarrow {V_{M.ABCD}} \le \dfrac{{64}}{3}\end{array}\)

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là \(\dfrac{{64}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.