Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Từ \(A\), vẽ hai

Câu hỏi số 676627:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Từ \(A\), vẽ hai tiếp tuyến \(AB,AC\) ( \(B,C\) là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.
b) Vẽ đường kính \(CE\), nối \(AE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F\). Chứng minh \(A{B^2} = AE.AF\).
c) Cho \(OA\) cắt \(BC\) tại \(H,BF\) cắt \(OA\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AH\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676627

Phương pháp giải

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác ABF và tam giác AEB đồng dạng từ đó suy ra \(A{B^2} = AE.AF\).

Giải chi tiết

a) Do AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên \(OB \bot AB,\,\,OC \bot AC \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)

Xét tứ giác ABOC có \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Xét tam giác ABF và tam giác AEB có:

\(\angle BAE\) chung

\(\angle ABF = \angle AEB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BF).

\( \Rightarrow \Delta ABF \sim \Delta AEB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow A{B^2} = AE.AF\) (đpcm)

c) Ta có \(\angle IFA = \angle BFE\) (đối đỉnh),

\(\angle BFE = \angle BCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

\(\angle BCE = \angle OAB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB)

\( \Rightarrow \angle IFA = \angle OAB = \angle IAB\).

Xét \(\Delta IAF\) và \(\Delta IBA\) có \(\angle IFA = \angle IAB\,\,\left( {cmt} \right)\) và \(\angle BIA\) chung

\( \Rightarrow \Delta IAF \sim \Delta IBA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{IF}}{{IA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow I{A^2} = IB.IF\) (1)

Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => A thuộc trung trực của BC.

OB = OC (cùng bằng bán kính) => O thuộc trung trực của BC.

=> OA là trung trực của BC \( \Rightarrow OA \bot BC\) tại H.

Xét \(\Delta ABO\) vuông tại B, đường cao BH nên \(A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà \(A{B^2} = AE.AF\) (chứng minh trên) nên suy ra \(AH.AO = AF.AE \Leftrightarrow \dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{AF}}{{AO}}\).

Kết hợp với \(\angle EAO\) chung suy ra \(\Delta AHF \sim \Delta AEO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle AHF = \angle AEO\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\angle AEO = \angle FBC\) (cùng chắn cung CF)

\( \Rightarrow \angle AHF = \angle FBC\)\( \Rightarrow \angle IHF = \angle HBI\).

Mà \(\angle BIH\) chung nên suy ra \(\Delta IHF \sim \Delta IBH\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IB}} = \dfrac{{IF}}{{IH}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow I{H^2} = IB.IF\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(I{H^2} = I{A^2} \Rightarrow IH = IA\).

Chứng tỏ I là trung điểm của AH (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link