Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(A\)
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(A\) lấy điểm \(S\) di động không trùng với \(A\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,SD\) lần lượt tại \(H\), \(K\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ACHK\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có \({V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABD}}.SA = \dfrac{{{a^2}x}}{6}\).
Lại có \(\dfrac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SD}} = {\left( {\dfrac{{SA}}{{SB}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{SA}}{{SD}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^4}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow {V_{S.AHK}} = \dfrac{{{x^4}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}.{V_{S.ABD}} = \dfrac{{{a^2}{x^5}}}{{6{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\).
Gọi \(O = AC \cap BD,\,G = SO \cap HK,\,I = AG \cap SC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH,\,\left( {AH \subset \left( {SAB} \right)} \right)\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).
Chứng minh tương tự ta có \(AK \bot SC\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AK\\SC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right),\,AI \subset \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot AI\).
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\), đặt \(SA = x > 0\) và có \(AC = a\sqrt 2 \), \(AI \bot SC\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{IS}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{AS}}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow CI = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x^2}}}SI\).
\( \Rightarrow {V_{ACHK}} = \dfrac{1}{3}{S_{AHK}}.CI = \dfrac{1}{3}{S_{AHK}}.\dfrac{{2{a^2}}}{{{x^2}}}.SI = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x^2}}}{V_{S.AHK}} = \dfrac{{{a^4}}}{3}.\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\).
Ta lại có \({\left( {{x^2} + {a^2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + {a^2}} \right)^2}\mathop \ge 16\dfrac{{{x^3}a}}{{3\sqrt 3 }} \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}} \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16a}}\)
(Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = a\sqrt 3 \)).
Suy ra \({V_{ACHK}} \le \dfrac{{{a^4}}}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16a}} \Leftrightarrow {V_{ACHK}} \le \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\).
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ACHK\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\) khi \(x = SA = a\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
