Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a,\,\,\angle ABC = {60^0}\) và \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 679243:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a,\,\,\angle ABC = {60^0}\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\). Biết khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{a}{3}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679243

Giải chi tiết

Gọi \(I,\,\,H\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC,\,\,SI\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AI\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

Mà \(AH \bot SI \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AD\parallel BC\\AD \not\subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AD\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Ta có: \(MS = \dfrac{3}{2}GS \Rightarrow d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {G,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{a}{2}\)

Do đó \(AH = \dfrac{a}{2}\)

Mặt khác \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Trong tam giác vuông \(SAI\) có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{I^2}}} \Rightarrow \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Lại có: \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.