Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm

Câu hỏi số 680741:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(C\) cố định, qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AC\). Gọi \(K\) là điểm cố định nằm giữa \(O\) và \(B\) \((K\) khác \(O\) và \(B)\), qua \(K\) vẽ dây cung \(ED\) bất kì của đường tròn \((O)\). Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(AE\) và \(AD\) với đường thẳng \(d\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) cắt tia \(AC\) tại điểm \(M\) \((M\) khác \(A)\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp được trong một đường tròn.

b) \(\Delta AKD\) ~ \(\Delta AQM\)

c) \(AK.AM = AB.AC.\)

d) Khi dây \(ED\) thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) luôn nằm trên một đường cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680741

Giải chi tiết

a) \(\angle {BEP} + \angle {BCP} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên tứ giác \(BEPC\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle {EPC} = \angle {EBA}\) (vì cùng bù với \(\angle {EBC}\))

\( \Rightarrow \angle {EDA} = \angle {EBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

\( \Rightarrow \angle {EDA} = \angle {APQ} \Rightarrow \) Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp.

b) \(\angle {AMQ} = \angle {APQ} \Rightarrow \angle {APQ} = \angle {ADE}\) \( \Rightarrow \angle {AMQ} = \angle {ADK}\)

\( \Rightarrow \Delta AKD\) ~ \(\Delta AQM{\rm{ }}\,\,(\angle {QAM}\,\,chung;\,\,\angle {ADK} = \angle {AMQ})\)

c) Vì \(\Delta AKD\) ~ \(\Delta AQM{\rm{ }} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AQ}} = \dfrac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AK.AM = AD.AQ\)

Ta có: \(\Delta ADB\) ~ \(\Delta ACQ\,{\rm{ }}(\angle A{\rm{ chung;}}\,\,\angle {ADB} = \angle {ACQ} = {90^0})\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AQ}} \Rightarrow AB.AC = AD.AQ\) \( \Rightarrow AK.AM = AB.AC\)

d) Ta có \(AK.AM = AB.AC \Rightarrow AM = \dfrac{{AB.AC}}{{AK}}\)(không đổi) nên \(M\) cố định.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) thì ta có \(IA = IM\) nên \(I\) nằm trên đường trung trực của \(AM\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link