Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm
Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(C\) cố định, qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AC\). Gọi \(K\) là điểm cố định nằm giữa \(O\) và \(B\) \((K\) khác \(O\) và \(B)\), qua \(K\) vẽ dây cung \(ED\) bất kì của đường tròn \((O)\). Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(AE\) và \(AD\) với đường thẳng \(d\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) cắt tia \(AC\) tại điểm \(M\) \((M\) khác \(A)\). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp được trong một đường tròn.
b) \(\Delta AKD\) ~ \(\Delta AQM\)
c) \(AK.AM = AB.AC.\)
d) Khi dây \(ED\) thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) luôn nằm trên một đường cố định.
Quảng cáo
a) \(\angle {BEP} + \angle {BCP} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên tứ giác \(BEPC\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle {EPC} = \angle {EBA}\) (vì cùng bù với \(\angle {EBC}\))
\( \Rightarrow \angle {EDA} = \angle {EBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
\( \Rightarrow \angle {EDA} = \angle {APQ} \Rightarrow \) Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp.
b) \(\angle {AMQ} = \angle {APQ} \Rightarrow \angle {APQ} = \angle {ADE}\) \( \Rightarrow \angle {AMQ} = \angle {ADK}\)
\( \Rightarrow \Delta AKD\) ~ \(\Delta AQM{\rm{ }}\,\,(\angle {QAM}\,\,chung;\,\,\angle {ADK} = \angle {AMQ})\)
c) Vì \(\Delta AKD\) ~ \(\Delta AQM{\rm{ }} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AQ}} = \dfrac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AK.AM = AD.AQ\)
Ta có: \(\Delta ADB\) ~ \(\Delta ACQ\,{\rm{ }}(\angle A{\rm{ chung;}}\,\,\angle {ADB} = \angle {ACQ} = {90^0})\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AQ}} \Rightarrow AB.AC = AD.AQ\) \( \Rightarrow AK.AM = AB.AC\)
d) Ta có \(AK.AM = AB.AC \Rightarrow AM = \dfrac{{AB.AC}}{{AK}}\)(không đổi) nên \(M\) cố định.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) thì ta có \(IA = IM\) nên \(I\) nằm trên đường trung trực của \(AM\) cố định.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
