1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}(2 - x)\sqrt {1 - x} - y\sqrt {y - 1} = 0\\\sqrt

Câu hỏi số 680742:

Vận dụng cao

1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}(2 - x)\sqrt {1 - x} - y\sqrt {y - 1} = 0\\\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 1} = 3\end{array} \right.\)

2) Cho \(a,\,b > 0\) thỏa mãn \({\rm{a}}\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) = ab\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + {b^3} + 2023\left( {a + b} \right) + 4}}{{ab}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680742

Phương pháp giải

1) Đặt \(\sqrt {1 - x} = u\,\,(u \ge 0);\,\,\sqrt {y - 1} = t\,\,(t \ge 0)\) và giải.

2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

1) ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 1;y \ge 1\)

\((1) \Leftrightarrow (1 - x)\sqrt {1 - x} - (y - 1)\sqrt {y - 1} + \sqrt {1 - x} - \sqrt {y - 1} = 0\)

Đặt \(\sqrt {1 - x} = u\,\,(u \ge 0);\,\,\sqrt {y - 1} = t\,\,(t \ge 0)\) ta được phương trình:

\({u^3} - {t^3} + u - t = 0\)\( \Leftrightarrow (u - t)({u^2} + ut + {t^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - t = 0\\{u^2} + ut + {t^2} + 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,u - t = 0 \Rightarrow 1 - x = y - 1 \Leftrightarrow x = 2 - y\).

Từ (2) suy ra \(\sqrt {4 - y} + \sqrt {y + 1} = 3\) (ĐKXĐ: \(1 \le y \le 4\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 + 2\sqrt {(4 - y)(y + 1)} = 9 \Leftrightarrow \sqrt {4 + 3y - {y^2}} = 2 \Rightarrow 3y - {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,\,(KTM)\\y = 3\,\,\,(TM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm \((x;y) = ( - 1;3).\)

2) Từ giả thiết \({\rm{a}}\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) = ab \Rightarrow {a^2} + {b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = ab + a + b\)

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2{\rm{a}}b \Rightarrow ab + a + b \ge 2{\rm{a}}b \Rightarrow a + b \ge ab\,\,\,\,\,(1)\)

Lại có: \({\rm{a}}b + a + b + 8 = \left( {{a^2} + 4} \right) + \left( {{b^2} + 4} \right) \ge 4{\rm{a}} + 4b = 4\left( {a + b} \right)\)

\( \Rightarrow ab + 8 \ge 3\left( {a + b} \right) \ge 3ab\,\,(do\,\,\,(1))\)

\( \Rightarrow ab \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {ab} \Rightarrow 0 < t \le 2 \Rightarrow \dfrac{2}{t} \ge 1 \Rightarrow \dfrac{4}{{{t^2}}} \ge 1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{a} + 2023\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) + \dfrac{4}{{ab}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{b}.\dfrac{{{b^2}}}{a}} + 2023.2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} + \dfrac{4}{{ab}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2t + 4046.\dfrac{1}{t} + \dfrac{4}{{{t^2}}}\end{array}\)

\(F \ge 2t + \dfrac{8}{t} + 2019 \cdot \dfrac{2}{t} + \dfrac{4}{{{t^2}}}\).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có \(2t + \dfrac{8}{t} \ge 2\sqrt {2t.\dfrac{8}{t}} = 8\)

\( \Rightarrow F \ge 8 + 2019 + 1 = 2028\).

Vậy \(\min F = 2028\), đạt khi \(a = b = 2\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link