1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x + 6y = 2023\left| {xy} \right|}\\{x - 2y =

Câu hỏi số 680744:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x + 6y = 2023\left| {xy} \right|}\\{x - 2y = 3xy}\end{array}} \right.\)

2) Giải phương trình \(2x + 3 + \sqrt {4{x^2} + 9x + 2} = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680744

Phương pháp giải

1) Chia 3 trường hợp và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

2) Đặt \(t = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \) và giải phương trình.

Giải chi tiết

1) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x + 6y = 2023\left| {xy} \right|}\\{x - 2y = 3xy}\end{array}} \right.\)

Nếu \(xy > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{6}{y} + \dfrac{6}{x} = 2023}\\{\dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{x} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{y} = \dfrac{{2032}}{9}}\\{\dfrac{1}{x} = \dfrac{{2005}}{{18}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{18}}{{2005}}}\\{y = \dfrac{9}{{2032}}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) (thoả mãn \(xy > 0\) ).

Nếu \(xy < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{6}{y} + \dfrac{6}{x} = - 2023}\\{\dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{x} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{y} = - \dfrac{{2014}}{9}}\\{\dfrac{1}{x} = - \dfrac{{2041}}{{18}}}\end{array}} \right.} \right.\) (loại, vì không thoả mãn \(xy < 0\) ).
Nếu \(xy = 0\) thì từ (1) ta tính được \(x = y = 0\).
Vậy hệ phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{18}}{{2005}};\dfrac{9}{{2032}}} \right)\).

2) Giải phương trình \(2x + 3 + \sqrt {4{x^2} + 9x + 2} = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \) (2).

ĐK: \(x \ge - \dfrac{1}{4}\)

Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x + 3 + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)} = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \).
Đặt \(t = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \) (với \(t \ge \sqrt 7 \) ) thì \({t^2} = 8x + 4\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)} + 9\) hay \(2x + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 9}}{4}\).

Phương trình (2) trở thành \(\dfrac{{{t^2} - 9}}{4} + 3 = t\)
\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) hoặc \(t = 3\).
Kết hợp với điều kiện \(t \ge \sqrt 7 \) ta lấy \(t = 3\).

Với \(t = 3{\rm{\;thi \;}}2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} = 3 \Leftrightarrow 2x + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)} = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)} = - 2x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right) = 4{x^2}}\end{array} \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{9}.} \right.\)

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{2}{9}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link