Cho điểm \(M\) di chuyển trên đoạn thẳng \(AB\). Vẽ các tam giác đều \(AMC\) và \(BMD\) về một
Cho điểm \(M\) di chuyển trên đoạn thẳng \(AB\). Vẽ các tam giác đều \(AMC\) và \(BMD\) về một phía của \(AB\). Xác định vị trí của \(M\) để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất.
Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)
Vì \(\angle AMC = \angle MBD = {60^0} \Rightarrow CM\parallel BD \Rightarrow \Delta AMC ∼ \Delta BMD ∼ \Delta AKB\)
Đặt \(AM = x,\,\,BM = y,\,\,AB = a\)
Ta có: \(\dfrac{{{S_{AMC}}}}{{{S_{AKB}}}} = {\left( {\dfrac{{AM}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}},\,\,\dfrac{{{S_{BMD}}}}{{{S_{AKB}}}} = {\left( {\dfrac{{BM}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMC}} + {S_{BMD}}}}{{{S_{AKB}}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{{a^2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2{a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Mà \({S_{AKB}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{AMC}} + {S_{BMD}} \ge \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{8}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(AM = BM\) hay \(M\) là trung điểm của \(AB\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com