Cho \(\Delta ABC\) và điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\). Tìm quỹ tích các trung điểm \(I\) của

Câu hỏi số 681924:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) và điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\). Tìm quỹ tích các trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AM\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681924

Giải chi tiết

- Phần thuận: Kẻ đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\) với \(H \in BC\)

Kẻ \(IK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\)

Do đó \(IK\parallel AH\)

Xét \(\Delta MAH\) có \(IM = IA\) và \(IK\parallel AH\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác \(AMH\)

Do đó ta được \(IK = \dfrac{1}{2}AH\)

Mà \(\Delta ABC\) cố định nên \(AH\) cố định

Suy ra \(IK = \dfrac{1}{2}AH\) không đổi

Vậy điểm \(I\) luôn cách \(BC\) đoạn \(IK = \dfrac{1}{2}AH\) không đổi nên \(I\) nằm trên đường thẳng song song với \(BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(\dfrac{1}{2}AH\)

- Phần đảo: Lấy điểm \(I\) thuộc đường trung bình \(PQ\) của tam giác \(ABC\), tia \(AI\) cắt \(BC\) ở \(M\)

Mặt khác ta có \(IK \bot BC,\,\,AH \bot BC \Rightarrow IK\parallel AH\)

Gọi \(H'\) là giao điểm của \(AH\) và \(PQ\)

Xét \(\Delta AIH'\) và \(\Delta IMK\) có:

\(\begin{array}{l}IK = AH' = \dfrac{1}{2}AH\\\angle H' = \angle K = {90^0}\\\angle MIK = \angle IAH'\\ \Rightarrow \Delta AIH' = \Delta IMK\\ \Rightarrow IA = IM\end{array}\)

Do đó \(I\) là trung điểm của \(AM\)

Vậy quỹ tích trung điểm \(I\) của đoạn \(AM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) với \(P \in AB,\,\,Q \in AC\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link