Cho \(\Delta ABC\) và điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\). Tìm quỹ tích các trung điểm \(I\) của
Cho \(\Delta ABC\) và điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\). Tìm quỹ tích các trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AM\)
- Phần thuận: Kẻ đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\) với \(H \in BC\)
Kẻ \(IK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\)
Do đó \(IK\parallel AH\)
Xét \(\Delta MAH\) có \(IM = IA\) và \(IK\parallel AH\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác \(AMH\)
Do đó ta được \(IK = \dfrac{1}{2}AH\)
Mà \(\Delta ABC\) cố định nên \(AH\) cố định
Suy ra \(IK = \dfrac{1}{2}AH\) không đổi
Vậy điểm \(I\) luôn cách \(BC\) đoạn \(IK = \dfrac{1}{2}AH\) không đổi nên \(I\) nằm trên đường thẳng song song với \(BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(\dfrac{1}{2}AH\)
- Phần đảo: Lấy điểm \(I\) thuộc đường trung bình \(PQ\) của tam giác \(ABC\), tia \(AI\) cắt \(BC\) ở \(M\)
Mặt khác ta có \(IK \bot BC,\,\,AH \bot BC \Rightarrow IK\parallel AH\)
Gọi \(H'\) là giao điểm của \(AH\) và \(PQ\)
Xét \(\Delta AIH'\) và \(\Delta IMK\) có:
\(\begin{array}{l}IK = AH' = \dfrac{1}{2}AH\\\angle H' = \angle K = {90^0}\\\angle MIK = \angle IAH'\\ \Rightarrow \Delta AIH' = \Delta IMK\\ \Rightarrow IA = IM\end{array}\)
Do đó \(I\) là trung điểm của \(AM\)
Vậy quỹ tích trung điểm \(I\) của đoạn \(AM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) với \(P \in AB,\,\,Q \in AC\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com