Cho hình bình hành \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định và cạnh \(CD\) chuyển động trên đường

Câu hỏi số 681926:

Vận dụng

Cho hình bình hành \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định và cạnh \(CD\) chuyển động trên đường thẳng \(d\) song song với \(AB\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Tia \(AI\) cắt \(BC\) tại \(N\). Tìm quỹ tích điểm \(N\) khi \(CD\) thay đổi trên đường thẳng \(d\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681926

Giải chi tiết

- Phần thuận: Gọi khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) và đường thẳng \(d\) là \(h\) không đổi

Xét \(\Delta IAD\) và \(\Delta INC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AID = \angle CIN\\ID = IC\\\angle IDA = \angle ICN\\ \Rightarrow \Delta IAD = \Delta INC\,\,\left( {g.c.g} \right)\\ \Rightarrow AD = NC = BC\end{array}\)

Kẻ \(NH \bot AB\), \(NH\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(K\)

\(\Delta NBH\) có \(CB = CN,\,\,CK\parallel BH\) nên \(CK\) là đường trung bình của \(\Delta NBH\)

Do đó \(K\) là trung điểm của \(NH\)

Suy ra \(HN = 2KH = 2h\) không đổi

Khi \(CD\) chuyển động trên đường thẳng \(d\) thì với mọi vị trí của \(CD\), \(N\) luôn cách \(AB\) một khoảng \(2h\) không đổi

- Phần đảo: Lấy điểm \(N\) bất kì trên đường thẳng \(d'\)

Đường thẳng \(AN\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(I\), đường thẳng \(NB\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(C\)

Lấy \(D\) đối xứng với \(C\) qua \(I\)

Ta cần chứng minh \(ABCD\) là hình bình hành

Thật vậy, kẻ \(NH \bot AB\). \(NH\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(K\)

Ta có: \(K\) là trung điểm của \(HN\)

Do đó \(C\) là trung điểm của \(NB\)

Trong \(\Delta NAB\) có \(C\) trung điểm của \(NB,\,\,IC\parallel AB\)

Do đó \(IC\) là đường trung bình của \(\Delta NAB\)

Suy ra \(IC = \dfrac{1}{2}AB\)

Vì \(D\) đối xứng với \(C\) qua \(I\) nên ta được \(ID = IC = \dfrac{{AB}}{2}\)

Do đó ta được \(AB = CD\)

Mà \(AB\parallel CD\) nên \(ABCD\) là hình bình hành

Vậy quỹ tích điểm \(N\) là đường thẳng \(d'\) song song với đường thẳng \(AB\) và cách đường thẳng \(AB\) một khoảng \(2h\) không đổi

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link