Cho hình bình hành \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định và cạnh \(CD\) chuyển động trên đường
Cho hình bình hành \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định và cạnh \(CD\) chuyển động trên đường thẳng \(d\) song song với \(AB\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Tia \(AI\) cắt \(BC\) tại \(N\). Tìm quỹ tích điểm \(N\) khi \(CD\) thay đổi trên đường thẳng \(d\)
- Phần thuận: Gọi khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) và đường thẳng \(d\) là \(h\) không đổi
Xét \(\Delta IAD\) và \(\Delta INC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AID = \angle CIN\\ID = IC\\\angle IDA = \angle ICN\\ \Rightarrow \Delta IAD = \Delta INC\,\,\left( {g.c.g} \right)\\ \Rightarrow AD = NC = BC\end{array}\)
Kẻ \(NH \bot AB\), \(NH\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(K\)
\(\Delta NBH\) có \(CB = CN,\,\,CK\parallel BH\) nên \(CK\) là đường trung bình của \(\Delta NBH\)
Do đó \(K\) là trung điểm của \(NH\)
Suy ra \(HN = 2KH = 2h\) không đổi
Khi \(CD\) chuyển động trên đường thẳng \(d\) thì với mọi vị trí của \(CD\), \(N\) luôn cách \(AB\) một khoảng \(2h\) không đổi
- Phần đảo: Lấy điểm \(N\) bất kì trên đường thẳng \(d'\)
Đường thẳng \(AN\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(I\), đường thẳng \(NB\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(C\)
Lấy \(D\) đối xứng với \(C\) qua \(I\)
Ta cần chứng minh \(ABCD\) là hình bình hành
Thật vậy, kẻ \(NH \bot AB\). \(NH\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(K\)
Ta có: \(K\) là trung điểm của \(HN\)
Do đó \(C\) là trung điểm của \(NB\)
Trong \(\Delta NAB\) có \(C\) trung điểm của \(NB,\,\,IC\parallel AB\)
Do đó \(IC\) là đường trung bình của \(\Delta NAB\)
Suy ra \(IC = \dfrac{1}{2}AB\)
Vì \(D\) đối xứng với \(C\) qua \(I\) nên ta được \(ID = IC = \dfrac{{AB}}{2}\)
Do đó ta được \(AB = CD\)
Mà \(AB\parallel CD\) nên \(ABCD\) là hình bình hành
Vậy quỹ tích điểm \(N\) là đường thẳng \(d'\) song song với đường thẳng \(AB\) và cách đường thẳng \(AB\) một khoảng \(2h\) không đổi
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com