Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn \(\dfrac{1}{a} +

Câu hỏi số 682039:

Vận dụng

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}\). Chứng minh rằng \(a + b\) là số chính phương.

Giải chi tiết

Từ \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c} \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{{ab}} = \dfrac{1}{c} \Rightarrow c\left( {a + b} \right) = ab \Rightarrow ab - ac - bc = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow ab - ac - bc + {c^2} = {c^2}\\ \Rightarrow \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) = {c^2}\end{array}\)

Gọi \(d = \left( {a - c;b - c} \right)\)

Khi đó \({c^2} \vdots {d^2} \Rightarrow c \vdots d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \vdots d\\b \vdots d\end{array} \right.\)

Mà \(a,\,\,b,\,\,c\) nguyên tố cùng nhau nên \(d = 1\)

Hay \(\left( {a - c;b - c} \right) = 1\)

Mà \(\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) = {c^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - c = {m^2}\\b - c = {n^2}\end{array} \right.\,\,m,n \in \mathbb{N}*\)

Khi đó \({c^2} = \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) = {m^2}.{n^2} \Rightarrow c = mn\)

Suy ra \(a + b = a - c + b - c + 2c = {m^2} + {n^2} + 2mn = {\left( {m + n} \right)^2}\)

Vậy \(a + b\) là số chính phương.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:682039

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.