Cho số tự nhiên \(n \ge 2\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn \(p - 1\) chia hết cho \(n\) đồng thởi

Câu hỏi số 682040:

Vận dụng

Cho số tự nhiên \(n \ge 2\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn \(p - 1\) chia hết cho \(n\) đồng thởi \({n^3} - 1\) chia hết cho \(p\). Chứng minh rằng \(n + p\) là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682040

Giải chi tiết

Ta có: \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots p\)

Ta có: \(p - 1 \vdots n \Rightarrow p - n \ge n \Rightarrow p \ge n + 1\)

Vì \(p \ge n + 1 \Rightarrow n - 1 < p \Rightarrow n - 1\not \vdots p\)

Do đó \({n^2} + n + 1 \vdots p\)

Đặt \(p - 1 = kn,\,\,k \ge 1 \Rightarrow p = kn + 1\,\,\left( * \right)\)

Vì \({n^2} + n + 1 \vdots p\) nên \(\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots \left( {kn + 1} \right) \Rightarrow kn + 1 \le {n^2} + n + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow kn \le {n^2} + n\\ \Rightarrow k \le n + 1\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(k\left( {{n^2} + n + 1} \right) - n\left( {kn + 1} \right) \vdots \left( {kn + 1} \right) \Rightarrow \left[ {\left( {k - 1} \right)n + k} \right] \vdots \left( {kn + 1} \right)\)

Vì \(k \ge 1 \Rightarrow \left( {k - 1} \right)n + k > 0 \Rightarrow \left( {k - 1} \right)n + k \ge kn + 1\) (do \(\left[ {\left( {k - 1} \right)n + k} \right] \vdots \left( {kn + 1} \right)\))

\( \Rightarrow k \ge n + 1\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(k = n + 1 \Rightarrow p = kn + 1 = {n^2} + n + 1\)

\( \Rightarrow n + p = {n^2} + 2n + 1 = {\left( {n + 1} \right)^2}\)

Vậy \(n + p\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link