Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho số tự nhiên \(n \ge 2\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn \(p - 1\) chia hết cho \(n\) đồng thởi
Cho số tự nhiên \(n \ge 2\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn \(p - 1\) chia hết cho \(n\) đồng thởi \({n^3} - 1\) chia hết cho \(p\). Chứng minh rằng \(n + p\) là một số chính phương.
Ta có: \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots p\)
Ta có: \(p - 1 \vdots n \Rightarrow p - n \ge n \Rightarrow p \ge n + 1\)
Vì \(p \ge n + 1 \Rightarrow n - 1 < p \Rightarrow n - 1\not \vdots p\)
Do đó \({n^2} + n + 1 \vdots p\)
Đặt \(p - 1 = kn,\,\,k \ge 1 \Rightarrow p = kn + 1\,\,\left( * \right)\)
Vì \({n^2} + n + 1 \vdots p\) nên \(\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots \left( {kn + 1} \right) \Rightarrow kn + 1 \le {n^2} + n + 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow kn \le {n^2} + n\\ \Rightarrow k \le n + 1\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta có: \(k\left( {{n^2} + n + 1} \right) - n\left( {kn + 1} \right) \vdots \left( {kn + 1} \right) \Rightarrow \left[ {\left( {k - 1} \right)n + k} \right] \vdots \left( {kn + 1} \right)\)
Vì \(k \ge 1 \Rightarrow \left( {k - 1} \right)n + k > 0 \Rightarrow \left( {k - 1} \right)n + k \ge kn + 1\) (do \(\left[ {\left( {k - 1} \right)n + k} \right] \vdots \left( {kn + 1} \right)\))
\( \Rightarrow k \ge n + 1\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(k = n + 1 \Rightarrow p = kn + 1 = {n^2} + n + 1\)
\( \Rightarrow n + p = {n^2} + 2n + 1 = {\left( {n + 1} \right)^2}\)
Vậy \(n + p\) là số chính phương.
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
