Có bao nhiêu số nguyên \(y\) để với mỗi \(y\) có đúng 2 số thực \(x\) thỏa mãn bất phương

Câu hỏi số 682827:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) để với mỗi \(y\) có đúng 2 số thực \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }} + {\rm{ln}}\left( {8{e^x} - y} \right) \le 2x + 2?\)

A. 2 .

B. 15 .

C. 16 .

D. 3 .

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Đặt \(t = \dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }}\) đưa về phương trình ẩn t.

Giải chi tiết

\(\dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }} + {\rm{ln}}\left( {8{e^x} - y} \right) \le 2x + 2\)

Điều kiện \(y \le 8{e^x}\)

Đặt \(t = \dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \ln t = \ln \dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }} = \ln 2{e^x} - \ln \sqrt {8{e^x} - y} = \ln 2 + x - \dfrac{1}{2}\ln \left( {8{e^x} - y} \right)\\ \Rightarrow \ln \left( {8{e^x} - y} \right) = 2\ln 2 + 2x - 2\ln t\end{array}\)

Khi đó ta được bất phương trình

\(\begin{array}{l}t + 2\ln 2 + 2x - 2\ln t \le 2x + 2\\ \Leftrightarrow t - 2\ln t + 2\ln 2 - 2 \le 0\\f\left( t \right) = t - 2\ln t + 2\ln 2 - 2\\ \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{2}{t} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow t \le 2\\ \Rightarrow \dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }} \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {8{e^x} - y} \ge {e^x}\\ \Leftrightarrow 8{e^x} - y \ge {e^{2x}}\\ \Leftrightarrow y \le - {e^{2x}} + 8{e^x}\end{array}\)

Vậy với mỗi giá trị của y cho tương ứng 2 giá trị thực của x thì \(0 < y < 16 \Rightarrow y \in \left\{ {1,2,...,16} \right\}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:682827

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.