Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Vẽ đường kính \(AT\) của

Câu hỏi số 688582:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Vẽ đường kính \(AT\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và lấy điểm \(P\) trên đoạn thẳng \(OT\left( {P \ne T} \right)\). Gọi \(E\) và \(F\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên các đường thẳng \(AC\) và \(AB\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên cạnh \(BC\).
a) Chứng minh \(\angle {OAB} = \angle {HAC}\) và hai đường thẳng \(BC,EF\) song song với nhau.
b) Cho \(AH\) và \(EF\) cắt nhau tại \(U\); điểm \(Q\) di động trên đoạn thẳng \(UE\left( {Q \ne U,Q \ne E} \right)\). Đường thẳng vuông góc với \(AQ\) tại điểm \(Q\) cắt các đường thẳng \(PE,PF\) tương ứng tại \(M,N\). Gọi \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\). Chứng minh bốn điểm \(A,M,N,P\) cùng thuộc một đường tròn và \(\angle {OAH} = \angle {KAQ}\).
c) Kẻ \(KD\) vuông góc với \(BC\left( {D \in BC} \right)\). Chứng minh đường thẳng đi qua điểm \(D\) và song song với \(AQ\) luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688582

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất của hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {BAH} = \angle {OAC}\) do cùng phụ với \(\angle {ABC}\), suy ra \(\angle {PAF} = \angle {HAC}\).
Có \(AEPF\) là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\angle {AEF} = \angle {APF}\)
Có \(\angle {APF} = 90^\circ - \angle {PAF}\) và \(\angle {ACB} = 90^\circ - \angle {HAC}\)
Suy ra \(\angle {AEF} = \angle {ACB} \Rightarrow EF//BC\)
b) \(AQEM\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle {AMN} = \angle {AEF} = \angle {APN} \Rightarrow A,M,N,P\) cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có \(\angle {AMN} = \angle {ACB}\), tương tự \(\angle {ANM} = \angle {ABC}\)

\(\angle {OAH} = \angle {OAB} - \angle {HAB} = 90^\circ - \angle {ACB} - \left( {90^\circ - \angle {ABC}} \right)\)

\(\; = 90^\circ - \angle {AMN} - \left( {90^\circ - \angle {ANM}} \right) = \angle {KAN} - \angle {QAN} = \angle {KAQ}\)

c) Gọi \({\rm{L}}\) là chân đường vuông góc hạ từ điểm \(A\) xuống đường thẳng \(KD\).
Từ \(\angle {OAH} = \angle {KAQ} \Rightarrow \angle {KAO} = \angle {KAQ} - \angle {OAQ} = \angle {OAH} - \angle {OAQ} = \angle {QAH}\).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AP\) và \(J\) là giao điểm của đường thẳng qua \(D\) song song với \(AQ\) và đường thẳng qua \(I\) vuông góc với \(BC\).

\( \Rightarrow \angle {QAH} = \angle {JDL}\) suy ra \(\angle {ILK} = \angle {JDL}\)

Mặt khác ta có \(IJ\)//\(LD\) nên suy ra tứ giác \(ILDJ\) (hoặc IJLD) là hình thang cân.
Suy ra, \(I\) và \(J\) đối xứng với nhau qua trung trực của \(DL\), hay qua trung trực của \(AH\).
Do \(ALDH\) là hình chữ nhật (dễ thấy).

Từ đây, vì \(I\) là điểm cố định và trung trực của \(AH\) là đường thẳng cố định nên \(J\) là điểm cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link