1) Giải phương trình \({(x - 1)^2} - x\sqrt {x - 1} + 1 = 0\).2) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m +

Câu hỏi số 688594:

Vận dụng cao

1) Giải phương trình \({(x - 1)^2} - x\sqrt {x - 1} + 1 = 0\).

2) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m - 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị của biểu thức \(\dfrac{{{x_1} \cdot {x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\) là số nguyên.

3) Cho 2 số dương \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(2024a + 1011b \le 2023\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{20}}{a} + \dfrac{{23}}{b} - 1944a - 988b\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688594

Phương pháp giải

1) Phương trình tương đương \({x^2} - x\sqrt {x - 1} - 2\left( {x - 1} \right) = 0\). Chia cả hai vế cho \(x - 1\).

2) Áp dụng hệ thức vi-ét.

3) Phân tích và áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

1) Điều kiện \(x \ge 1\).
Pt tương đương \({x^2} - x\sqrt {x - 1} - 2\left( {x - 1} \right) = 0\).

Dễ thấy \(x = 1\) không là nghiệm phương trình nên phương trình tương đương \({\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^2} - \dfrac{x}{{\sqrt {x - 1} }} - 2 = 0\).

Giải được \(\dfrac{x}{{\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow x = 2\)

2) \({\rm{\Delta '}} = - 2m + 2\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m < 1\).

\(\dfrac{{{x_1} \cdot {x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \dfrac{{{m^2} + 4m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}\)

Ta có \(2 \cdot \dfrac{{{x_1} \cdot {x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = m + 3 - \dfrac{4}{{m + 1}}\) là số nguyên nếu \(\left( {m + 1} \right)\) thuộc ước của 4.

Tìm được \(m = - 3\).

3) Ta có:

\(P = \dfrac{{20}}{a} + \dfrac{{23}}{b} - 1944a - 988b\)

\(\; = 20\left( {\dfrac{1}{a} + 4a} \right) + 23\left( {\dfrac{1}{b} + b} \right) - 1944a - 988b - 80a - 23b\)

\(\; = 20\left( {\dfrac{1}{a} + 4a} \right) + 23\left( {\dfrac{1}{b} + b} \right) - 2024a - 1011b\)

\(\; \ge 20.2\sqrt {\dfrac{1}{a} \cdot 4a} + 23.2\sqrt {\dfrac{1}{b} \cdot b} - \left( {2024a + 1011b} \right)\)

\(\; \ge 20.2 \cdot 2 + 23.2 - 2023 = - 1897\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2024a + 1011b = 2023}\\{\dfrac{1}{a} = 4a}\\{\dfrac{1}{b} = b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \({\rm{Min}}P = - 1897\), đạt được khi \(a = \dfrac{1}{2},b = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link