1) Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai tia \(AB\) và \(DC\) cắt nhau

Câu hỏi số 688595:

Vận dụng cao

1) Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai tia \(AB\) và \(DC\) cắt nhau tại \(E\) sao cho \(\angle {AED} = 40^\circ \), hai tia \(BC\) và \(AD\) cắt nhau tại \(F\) sao cho \(\angle {AFB} = 30^\circ \). Tính số đo các góc trong của tứ giác \(ABCD\).

2) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và \(BC\) là dây cung cố định khác đường kính của \(\left( O \right),A\) là điểm di động trên cung lớn \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Tia phân giác của góc \(\angle {BAC}\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\) (khác \(A\)).
a) Chứng minh tam giác \(DBI\) cân. Từ đó suy ra \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IBC\).
b) Gọi \(E,P,Q\) lần lượt là các tiếp điểm của \(\left( I \right)\) với \(BC,CA,AB\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(BC\) cắt các tia \(EP,EQ\) lần lượt tại \(M,N\). Gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(I\). Chứng minh \(AM = AN\) và \(F\) là trực tâm tam giác \(EMN\).
c) Tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(K\). Gọi \(X,Y\) lần lượt là hình chiếu của \(K\) trên các đường thẳng \(AB\) và \(AC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(XY\) luôn qua điểm cố định khi \(A\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688595

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\angle A + \angle B + 30^\circ = 180^\circ }\\{\angle A + \angle D + 40^\circ = 180^\circ }\\{\angle B + \angle D = 180^\circ }\end{array}} \right.\)

\(\; \Rightarrow \angle A = 55^\circ \)

\( \Rightarrow \angle B = 95^\circ ,\,\,\angle C = 125^\circ ,\,\,\angle D = 85^\circ \)

2) a)

Ta có \(\;\angle {BID} = \angle {IAB} + \angle {IBA}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

\(\; = \angle {IAC} + \angle {IBC}\) (tính chất phân giác)

\(\; = \angle {DBC} + \angle {IBC} = \angle {IBD}\)

Vậy tam giác \(DBI\) cân tại \(D\).
Vì \(AD\) là tia phân giác trong góc \(A\) nên \(D\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\) hay \(DB = DC\)

Vậy \(DB = DI = DC\) hay \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IBC\).

Ta có \(\angle {ANQ} = \angle {QEB}\) (so le trong)
\(\angle {QEB} = \angle {EQB}\) (tính chất tiếp tuyến)
\(\angle {EQB} = \angle {NQA}\) (đối đỉnh)

Vì thế \(\angle {ANQ} = \angle {NQA}\), nên tam giác \(ANQ\) cân tại \(A\) hay \(AN = AQ\).

Chứng minh tương tự ta có \(AM = AP\).
Mà \(AQ = AP\) (tính chất tiếp tuyến). Do đó \(AM = AN\) (đpcm).

Tam giác \(QMN\) có \(AM = AN = AQ\) nên vuông tại \(Q\). Suy ra \(MQ \bot NE\)

Mà \(\angle {FQE} = 90^\circ \Rightarrow FQ \bot NE\). Từ đó ta có \(M,F,Q\) thẳng hàng.
Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF \bot BC}\\{BC//MN}\end{array}} \right.\) nên \(EF \bot MN\)
Từ (1) và (2) suy ra \(F\) là trực tâm tam giác \(EMN\).

Gọi \(T\) là trung điểm của \(BC\).
Ta chứng minh được các tứ giác \(BXKT,CYKT\) nội tiếp.
Khi đó \(\angle {XBK} = \angle {XTK}\) và \(\angle {ACB} = \angle {TKY}\).
Ta có \(\angle {XBK} = 180^\circ - \angle {ABC} - \angle {CBK} = 180^\circ - \angle {ABC} - \angle {CAB} = \angle {ACB}\)
Từ đó suy ra \(\angle {XTK} = \angle {TKY}\) suy ra \(XT//KY\).
Chứng minh tương tự \(TY//XK\).
Vậy \(XTYK\) là hình bình hành nên \(XY\) qua trung điểm \(Z\) của đoạn \(TK\).

Mà \(TK\) cố định nên \(Z\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link