Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) cân tại \({\rm{A}}\), các đường trung tuyến \({\rm{BM}}\) và \({\rm{CN}}\)
Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) cân tại \({\rm{A}}\), các đường trung tuyến \({\rm{BM}}\) và \({\rm{CN}}\) cắt nhau tại \({\rm{G}}\).
a) Chứng minh \(\Delta {\rm{ABM}} = \Delta {\rm{ACN}}\), từ đó suy ra \({\rm{BM}} = {\rm{CN}}\).
b) Chứng minh \({\rm{GM}} > \dfrac{1}{4}{\rm{BC}}\).
Quảng cáo
Áp dụng các tính chất trong tam giác.
a) Vì tam giác \({\rm{ABC}}\) cân tại \({\rm{A}}\) nên \({\rm{AB}} = {\rm{AC}},\angle {ABC} = \angle {ACB}\).
Vì \({\rm{BM}},{\rm{CN}}\) là đường trung tuyến của tam giác \({\rm{ABC}}\) nên \({\rm{M}},{\rm{N}}\) lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Do đó \(AM = MC,AN = NB\).
Mà \(AB = AC\)
Suy ra \(AM = MC = AN = NB\).
Xét \(\Delta {\rm{ABM}}\) và \(\Delta {\rm{ACN}}\) có:
\({\rm{AB}} = {\rm{AC}}\) (chứng minh trên),
\(\angle {BAC}\) là góc chung,
\({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\) (chứng minh trên)
Do đó \(\Delta {\rm{ABM}} = \Delta {\rm{ACN}}\) (c.g.c).
Suy ra \({\rm{BM}} = {\rm{CN}}\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy BM = CN.
b) Xét tam giác ABC
Có BM là đường trung tuyến, G là trọng tâm tam giác \( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BM\); \(GM = \dfrac{1}{3}BM\). \( \Rightarrow BG = 2GM\)
CN là đường trung tuyến, G là trọng tâm tam giác \( \Rightarrow CG = \dfrac{2}{3}CN\)
Mà BM=CN (cmt)
Suy ra BG=CG
Tromg tam giác \({\rm{GBC}}\) có \({\rm{BC}} < {\rm{BG}} + {\rm{GC}}\) ( Bất đẳng thức tam giác )
\({\rm{BC}} < 2.{\rm{BG}}\)
Lại có BG=2GM (cmt)
Suy ra \( \Rightarrow {\rm{BC}} < 4.{\rm{GM}} = > {\rm{GM}} > \dfrac{1}{4}{\rm{BC}}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
