a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai

Câu hỏi số 689725:

Vận dụng

a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai nghiệm\({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}\).

b) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = 9.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689725

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức vi-ét.

b) Phân tích phương trình ban đầu và đặt \(t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} \). Từ đó giải phương trình t.

Giải chi tiết

a) Ta có \(ac = - {\left( {m - 1} \right)^2} - 2 < 0\), với mọi m.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2} \Leftrightarrow \sqrt {x_1^2 + 1} - \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 - x_2^2}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x_1^{} - x_2^{}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2}\end{array} \right..\)

TH1: \({x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow 2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

TH2: \(\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1}} \right) + \left( {\sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}} \right) = 0\) (vô lý).

Vậy \(m = 1\).

b) Điều kiện: \( - 9 \le x \le 9\).

Ta có \(\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt {81 - {x^2}} + 3\left( {\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} } \right) - \dfrac{{27}}{2} = 0.\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} \), suy ra \({t^2} = 18 - 2\sqrt {81 - {x^2}} \), ta có phương trình

\(\dfrac{{18 - {t^2}}}{2} + 3t - \dfrac{{27}}{2} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{{t^2}}}{2} + 3t - \dfrac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}{(t - 3)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Với \(t = 3\), ta có \(\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 9} = 3 + \sqrt {9 - x} \)

\( \Leftrightarrow x + 9 = 18 - x + 6\sqrt {9 - x} \Leftrightarrow 6\sqrt {9 - x} = 2x - 9\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{9}{2}\\36(9 - x) = 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{9}{2}\\4{x^2} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link