a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai

Câu hỏi số 689725:

Vận dụng

a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai nghiệm\({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}\).

b) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = 9.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689725

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức vi-ét.

b) Phân tích phương trình ban đầu và đặt \(t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} \). Từ đó giải phương trình t.

Giải chi tiết

a) Ta có \(ac = - {\left( {m - 1} \right)^2} - 2 < 0\), với mọi m.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2} \Leftrightarrow \sqrt {x_1^2 + 1} - \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 - x_2^2}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x_1^{} - x_2^{}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2}\end{array} \right..\)

TH1: \({x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow 2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

TH2: \(\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1}} \right) + \left( {\sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}} \right) = 0\) (vô lý).

Vậy \(m = 1\).

b) Điều kiện: \( - 9 \le x \le 9\).

Ta có \(\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt {81 - {x^2}} + 3\left( {\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} } \right) - \dfrac{{27}}{2} = 0.\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} \), suy ra \({t^2} = 18 - 2\sqrt {81 - {x^2}} \), ta có phương trình

\(\dfrac{{18 - {t^2}}}{2} + 3t - \dfrac{{27}}{2} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{{t^2}}}{2} + 3t - \dfrac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}{(t - 3)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Với \(t = 3\), ta có \(\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 9} = 3 + \sqrt {9 - x} \)

\( \Leftrightarrow x + 9 = 18 - x + 6\sqrt {9 - x} \Leftrightarrow 6\sqrt {9 - x} = 2x - 9\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{9}{2}\\36(9 - x) = 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{9}{2}\\4{x^2} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link