a) Tìm tất cả số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0.\)b) Một cái bình hình

Câu hỏi số 690379:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0.\)

b) Một cái bình hình nón được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang sao cho đỉnh của nó hướng lên trên. Người ta rót nước vào bình cho đến khi mực nước dâng cao cách đỉnh \(8\,{\rm{cm}}\) (như hình \(1\)). Sau đó, người ta đảo ngược cái bình lại sao cho đỉnh bình hướng xuống (như hình \(2\)). Khi đó, người ta đo được phần không gian trống của bình có chiều cao \(2\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Biết rằng lượng nước bên trong bình không thay đổi. Tính chiều cao của cái bình đã cho.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690379

Phương pháp giải

a) Từ phương trình ban đầu \( \Leftrightarrow (x - 2y + 3)(x + y - 1) = 2\). Khi đó ta chia các trường hợp.

b) Áp dụng công thức tính thể tích \(\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Giải chi tiết

a) \({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow (x - 2y + 3)(x + y - 1) = 2\)

Ta có các trường hợp sau

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 2\\x + y - 1 = 1\end{array} \right.;\,\)\(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 1\\x + y - 1 = 2\end{array} \right.;\,\)\(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = - 2\\x + y - 1 = - 1\end{array} \right.;\,\,\)\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = - 1\\x + y - 1 = - 2\end{array} \right.\)

Giải các hệ trên ta có các cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn là \((1;1)\) và \(( - 2;1).\)

b) Gọi \(h\,({\rm{cm}})\) là chiều cao của bình nước, \(r\,({\rm{cm}})\) là bán kính đáy của hình nón.

Thể tích của bình nước là \(\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Khi đặt bình nước có đỉnh hướng lên, thể tích của lượng nước là \(\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h - \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{{8r}}{h}} \right)^2}.8\) (1)

Khi úp bình xuống, lượng nước trên chiếm một thể tích bằng với thể tích hình nón có chiều cao là \(h - 2\) và bằng \(\dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{{(h - 2)r}}{h}} \right)^2}(h - 2)\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \({h^3} - {8^3} = {(h - 2)^3}\)\( \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0\)\( \Rightarrow h = 1 + \sqrt {85} \)

Vậy chiều cao của bình là \(1 + \sqrt {85} \,{\rm{cm}}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link