Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(CB = CA.\) Gọi \(M\) là điểm bất kỳ trên tia đối của tia \(BA.\)

Câu hỏi số 690380:

Vận dụng

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(CB = CA.\) Gọi \(M\) là điểm bất kỳ trên tia đối của tia \(BA.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) cắt \(MD\) tại \(N\) \((N\)khác \(D),\) đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) cắt \(MC\) tại \(K\) \((K\) khác \(M).\)

a) Chứng minh tứ giác \(ABKC\) nội tiếp.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(AN\) và đường thẳng \(BK.\) Chứng minh \(I\) luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690380

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất của hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) \(\angle {ABC} = \angle {BAC}\) (tam giác \(CAB\) cân, do \(CA = CB\))

\(\angle {BAC} = \angle {ACD}\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle {ABC} = \angle {ACD}\)

\(ACDN\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {ACD} = \angle {AND}\) (cùng chắn cung \(AD\)) \( \Rightarrow \angle {ABC} = \angle {AND}\)

Mà \(\angle {AND} = \angle {MNI}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle {ABC} = \angle {MNI}\) (1)

Mặt khác \(\angle {AKC} + \angle {AKM} = 180^\circ \) (kề bù) và \(\angle {MNI} + \angle {ANM} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà \(\angle {AKM} = \angle {ANM}\) (\(AMKN\) nội tiếp, cùng chắn cung \(AB\))

Nên \(\angle {AKC} = \angle {MNI}\) (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\angle {AKC} = \angle {ABC}\) (cùng nhìn cung \(AC\))

Vậy \(ABKC\) nội tiếp.

b) Do \(I\) là giao điểm của \(AN\) và \(BK\). Ta sẽ chứng minh \(C,D,I\) thẳng hàng.

\(ABKC\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {BAC} = \angle {IKC}\) (cùng bù với \(\angle {BKC}\))

\(ADCN\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {INC} = \angle {ADC}\) (cùng bù với \(\angle {ANC}\))

Mà \(\angle {BAC} = \angle {ADC}\) (\(ABCD\) là hình bình hành có \(CA = CB\))

Nên \(\angle {IKC} = \angle {INC}\) (cùng nhìn cung \(IC\))

\( \Rightarrow \)Tứ giác \(CNIK\)nội tiếp.

Ta có \(\angle {CIA} = \angle {CIN} = \angle {CKN} = 180^\circ - \angle {MKN} = \angle {MAN} = \angle {MAI}\)

Suy ra \(AM//CI\)

Mà \(AM//CD\) nên \(C,D,I\) thẳng hàng

Vậy \(I\) thuộc đường thẳng \(CD\) cố định khi \(M\) thay đổi.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link