1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 690463:

Vận dụng cao

1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;y = 2\left( {m - 1} \right)x + 3\).

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = 5.\)

2) Chứng minh rằng phương trình \(\left( {a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {b{x^2} + 2cx + a} \right)\left( {c{x^2} + 2ax + b} \right) = 0\) luôn có nghiệm với mọi số thực \(a,b,c.\)

3) Cho hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x > 1,\;y > 1\)

a) Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\) \( \ge 2\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \(\dfrac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x - 1}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690463

Phương pháp giải

1) Áp dụng hệ thức vi-ét.

2) Chia hai trường hợp \(a.b.c = 0\) và \(a.b.c \ne 0\).

3) Áp dụng bất đẳng thức \(AM - GM\).

Giải chi tiết

1) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là

\({x^2} = 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 = 0\)

Do \(1.\left( { - 3} \right) = - 3 < 0\) nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\)

Do đó đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\;{x_2}.\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{{x_1}{x_2} = - 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy \({x_1} + 2{x_2} = 5\) trừ (1) vế theo vế ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 7 - 2m\\{x_1} = 2\left( {m - 1} \right) - \left( {7 - 2m} \right) = 4m - 9\end{array} \right.\)

Thay vào (2) ta được \(\left( {7 - 2m} \right)\left( {4m - 9} \right) = - 3 \Leftrightarrow - 8{m^2} + 46m - 60 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 23m + 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = \dfrac{{15}}{4}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ {2;\dfrac{{15}}{4}} \right\}\)

2) Ta có \(\left( {a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {b{x^2} + 2cx + a} \right)\left( {c{x^2} + 2ax + b} \right) = 0{\rm{\;}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + 2bx + c = 0\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{b{x^2} + 2cx + a = 0\;\;\;\;\left( 2 \right)}\\{c{x^2} + 2ax + b = 0\;\;\;\;\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

+) Trường hợp 1: Nếu \(a.b.c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

+) Trường hợp 2: Nếu \(a.b.c \ne 0\). , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\Delta '}_1} = {b^2} - ac}\\{{{\Delta '}_2} = {c^2} - ab}\\{{{\Delta '}_3} = {a^2} - bc.}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(2\left( {{{\Delta '}_1} + {{\Delta '}_2} + {{\Delta '}_3}} \right) = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca\)

\( = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra một trong ba số \({\Delta '_1},\,\,{\Delta '_2},\,\,{\Delta '_3}\) không âm.

Do đó, một trong ba phương trình (1), (2), (3) có nghiệm nên ta có điều phải chứng minh

3) a) Áp dụng bất đẳng thức \(AM - GM\) cho hai số thực dương \(\left( {x - 1} \right)\) và 1 ta được

\(x = \left( {x - 1} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).1} = 2\sqrt {x - 1} .\)

Vậy \(\dfrac{x}{{\sqrt {x - 1} }} \ge 2\) với mọi số thực \(x > 1\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương \(\dfrac{{{x^2}}}{{y - 1}}\) và \(\dfrac{{{y^2}}}{{x - 1}}\) ta được

\(T = \;\dfrac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y - 1}}.\dfrac{{{y^2}}}{{x - 1}}} = 2.\dfrac{x}{{\sqrt {x - 1} }}.\dfrac{y}{{\sqrt {y - 1} }} \ge 2.2.2 = 8\)

Vậy \(\min T = 8\) khi \(x = y = 2.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link