Cho các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 +

Câu hỏi số 690855:

Vận dụng

Cho các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i,\,\,i\overline w = \left( {3 + 4i} \right)z + 2i\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w\) là một đường tròn. Tính tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(r\) của đường tròn đó.

A. \(I\left( {2;0} \right),\,\,r = \sqrt 5 \).

B. \(I\left( { - 2;0} \right),\,\,r = \sqrt 5 \).

C. \(I\left( {2;0} \right),\,\,r = 5\).

D. \(I\left( { - 2;0} \right),\,\,r = 5\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690855

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(w = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có: \(i\overline w = \left( {3 + 4i} \right)z + 2i\)

\( \Leftrightarrow i\left( {a - bi} \right) = \left( {3 + 4i} \right)z + 2i\)

\( \Leftrightarrow b + \left( {a - 2} \right)i = \left( {3 + 4i} \right)z\)

\( \Leftrightarrow {\left| {b + \left( {a - 2} \right)i} \right|^2} = {\left| {\left( {3 + 4i} \right)z} \right|^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = 25{\left| z \right|^2} & \left( 1 \right)\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i\\ \Leftrightarrow \left| z \right| + 2 + i\left( {2\left| z \right| - 1} \right) = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z}\\ \Leftrightarrow {\left| {\left| z \right| + 2 + i\left( {2\left| z \right| - 1} \right)} \right|^2} = {\left| {\dfrac{{\sqrt {10} }}{z}} \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \dfrac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\end{array}\)

Đặt \(x = \left| z \right| > 0\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} = \dfrac{{10}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} + {x^2}{\left( {2x - 1} \right)^2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 5{x^4} + 5{x^2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = - 2\,\,\left( L \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\left| z \right|^2} = 1\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \({\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} = 25\)

Vậy tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(r\) của đường tròn cần tìm là \(I\left( { - 2;0} \right),\,\,r = 5\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.