Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'}

Câu hỏi số 690860:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) bằng 2, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\alpha \) với \(\sin \alpha = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(\dfrac{{18\sqrt {15} }}{5}\).

B. \(\dfrac{{9\sqrt {15} }}{5}\).

C. \(\dfrac{{9\sqrt {15} }}{{20}}\).

D. \(\dfrac{{9\sqrt {15} }}{{10}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690860

Phương pháp giải

Thể tích khối lăng trụ là \(V = Bh\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)

Khi đó \(CM \bot AB\)

Mà \(CC' \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {CC'M} \right) \Rightarrow \left( {ABC'} \right) \bot \left( {CC'M} \right)\)

Kẻ \(CH \bot C'M\,\,\left( {H \in C'M} \right)\)

Suy ra \(CH \bot \left( {ABC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CH\)

Theo giả thiết \(CH = 2\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Ta có: \(AG \bot BC\)

Mà \(CC' \bot AG \Rightarrow AG \bot \left( {BCC'B'} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Kẻ \(GN\parallel CH\,\,\left( {N \in MC'} \right)\)

Vì \(CH \bot \left( {ABC'} \right) \Rightarrow GN\parallel \left( {ABC'} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {\left( {ABC'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AG,GN} \right) = \angle AGN\)

Theo giả thiết \(\sin \angle AGN = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \angle AGN = \dfrac{1}{3}\)

Hơn nữa \(\cos \angle AGN = \dfrac{{GN}}{{AG}} \Rightarrow AG = 3GN\)

Ta có: \(\dfrac{{NG}}{{CH}} = \dfrac{{MG}}{{MC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow NG = \dfrac{{CH}}{3} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AG = 2 \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 \)

Khi đó \(CM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 3\)

Ta có: \(CH = \dfrac{{CC'.CM}}{{\sqrt {CC{'^2} + C{M^2}} }} = \dfrac{{3CC'}}{{\sqrt {CC{'^2} + 9} }} \Rightarrow 2 = \dfrac{{3CC'}}{{\sqrt {CC{'^2} + 9} }} \Rightarrow CC' = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}\)

Thể tích khối lăng trụ là \(V = CC'.{S_{ABC}} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{18\sqrt {15} }}{5}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.