Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x +

Câu hỏi số 690861:

Thông hiểu

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Đưởng thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có vec tơ chỉ phương \(\vec u = \left( {3;4; - 4} \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(B\). Xét điểm \(M\) thay đổi trong \(\left( P \right)\) sao cho \(M\) luôn nhìn đoạn \(AB\) dưới góc \(90^\circ \). Hỏi giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng \(MB\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {3;5} \right)\).

B. \(\left( {5;7} \right)\).

C. \(\left( {7;9} \right)\).

D. \(\left( {1;3} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690861

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta thấy \(A \in \left( P \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 1\\y = 4t + 2\\z = - 4t - 3\end{array} \right.\)

Vì \(B \in d \Rightarrow B\left( {3t + 1,4t + 2, - 4t - 3} \right)\)

Mà \(B \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {3t + 1} \right) + 2\left( {4t + 2} \right) + 4t + 3 + 9 = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\)

Vì \(M\) luôn nhìn đoạn \(AB\) dưới góc \(90^\circ \) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) với \(\left( C \right) = \left( P \right) \cap \left( S \right)\), \(\left( S \right)\) là mặt cầu có đường kính \(AB\)

Gọi \(r\) lá bán kính của \(\left( C \right)\)

Gọi \(I\) là tâm của \(\left( S \right)\). Khi đó \(I\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};0; - 1} \right)\) và \(BI = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3 \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - d{{\left( {I,\left( P \right)} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Gọi \(I'\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\)

Phương trình \(II':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2} + 2t'\\y = 2t'\\z = - 1 - t'\end{array} \right.\)

Mà \(I' \in \left( P \right) \Rightarrow t' = - 1 \Rightarrow I'\left( { - \dfrac{5}{2}; - 2;0} \right) \Rightarrow BI' = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Khi đó \(\max BM = BI' + r = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.