Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA \bot (ABCD)\). Gọi \((\alpha )\) là mặt

Câu hỏi số 694845:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA \bot (ABCD)\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc với mặt phẳng \((SCD)\).

a) \((\alpha )\) cắt khối chóp \(S.ABCD\) theo thiết diện là hình gì?

b) Biết \(SA = a\). Tính diện tích thiết diện tìm được ở câu \(a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:694845

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất vuông góc.

Giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng \((SAD)\) dựng \(AH \bot SD\) tại \(H\). Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AD}\\{SA \bot CD}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AH.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot CD}\\{AH \bot SD}\end{array} \Rightarrow AH \bot (SCD).} \right.\)

\((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(AB\) đồng thời chứa \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \((SCD)\).

Vậy \((\alpha ) \bot (SCD)\) và \((\alpha ) \equiv (AB,AH)\).

Ta có: \(AB//CD\) nên \(CD//(\alpha )\) và \(H\) là điểm chung của \((\alpha )\) và \((SCD)\) nên giao tuyến của \((\alpha )\) và \((SCD)\) là đường thẳng qua \(H\) và song song với \(CD\) cắt \(SC\) tại \(E\). Ta có thiết diện của \((\alpha )\) và hình \(S.ABCD\) là hình thang vuông \(AHEB\) vuông tại \(A\) và \(H\) vì \(AB \bot (SAD)\).

b) Do \(SA = AD = a \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow AH = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};EH = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Diện tích hình thang vuông \(AHEB\) là: \({S_{AHEB}} = \dfrac{{AB + EH}}{2} \cdot AH = \dfrac{{a + \dfrac{a}{2}}}{2} \cdot \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{8}\).

Chú ý khi giải

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.