Cho hàm số bậc bốn $y = f\left( x \right)$ và hàm số bậc ba $y = g\left( x \right)$

Câu hỏi số 697891:

Vận dụng

Cho hàm số bậc bốn $y = f\left( x \right)$ và hàm số bậc ba $y = g\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ với trục hoành bằng $\dfrac{3}{2}$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ với trục hoành bằng $\dfrac{4}{3}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = - 1,x = 2$.

A. $\dfrac{{227}}{{20}}$.

B. $\dfrac{{247}}{{20}}$.

C. $\dfrac{{239}}{{20}}$.

D. $\dfrac{{243}}{{20}}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697891

Phương pháp giải

Từ đồ thị xác định các hàm $f(x)$ và $g(x)$ từ đó tính diện tích bằng tích phân

Giải chi tiết

Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số bậc ba $y=g(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là $-1 ; 0 ; 1$ và $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} g(x)= \pm \infty$ nên $g(x)=a x(x-1)(x+1)=a\left(x^3-x\right), a>0$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=g(x)$ với trục hoành bằng $\dfrac{3}{2}$ nên ta có

$\int_{ - 1}^1 | g(x)| = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow a\int_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}a = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow g(x) = 3{x^3} - 3x.$

Lại có, hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị là $x=-1, x=0, x=1$ và $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=+\infty$ nên $f^{\prime}(x)=b g(x)=3 b\left(x^3-x\right), b>0$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ với trục hoành bằng $\dfrac{4}{3}$ nên

$\begin{array}{l}\int_{ - 1}^1 {\left| {{f^\prime }(x)} \right|} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow b\int_{ - 1}^1 | g(x)| = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}b = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{8}{9} \Rightarrow {f^\prime }(x) = \dfrac{8}{3}\left( {{x^3} - x} \right)\\ \Rightarrow f(x) = \dfrac{2}{3}{x^4} - \dfrac{4}{3}{x^2} + c.\end{array}$

Mà $f(0) = - 2 \Rightarrow c = - 2$

Vậy $f(x) = \dfrac{2}{3}{x^4} - \dfrac{4}{3}{x^2} - 2$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.