Cho \(a,b\) là hai số thực thay đổi thỏa mãn \(1 < a < b \le 2\), biết giá trị nhỏ nhất của
Cho \(a,b\) là hai số thực thay đổi thỏa mãn \(1 < a < b \le 2\), biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2.{\log _a}\left( {{b^2} + 4b - 4} \right) + \log _{ \dfrac{b}{a}}^2a\) là \(m + 3\sqrt[3]{n}\) với \(m,n\) là số nguyên dương. Tính \(S = 2m + n\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có \({b^2} + 4b - 4 \ge {b^3} \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {{b^2} - 4} \right) \le 0\) (điều này đúng vì \(1 < b \le 2\)).
Nên \(P \ge 2.{\log _a}{b^3} + {\left( { \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right)^2}\)\( = 6{\log _a}b + {\left( { \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right)^2}\).
Đặt \(t = {\log _a}b\). Với \(1 < a < b \le 2\) thì \(t > 1\).
Đặt \(f\left( t \right) = 6t + {\left( { \dfrac{1}{{t - 1}}} \right)^2}\) với \(t > 1\) thì \(P \ge f\left( t \right),t > 1\).
Ta có \(f'\left( t \right) = 6 + 2\left( { \dfrac{1}{{t - 1}}} \right)\left( { - \dfrac{1}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}} \right) = 6 - \dfrac{2}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} = 2. \dfrac{{3{{\left( {t - 1} \right)}^3} - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\).
\(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow t = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}\).
Ta có \(f\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right) = 6 + \dfrac{6}{{\sqrt[3]{3}}} + {\left( { \dfrac{1}{{\left( { \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right)}}} \right)^2} = 6 + 3\sqrt[3]{9}\).
Vậy \(m = 6,n = 9\)\( \Rightarrow 2m + n = 21\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
