Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(M\left( {5;1;10} \right),A\left( {9;15; - 6} \right),B\left( { - 3;9;6}
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(M\left( {5;1;10} \right),A\left( {9;15; - 6} \right),B\left( { - 3;9;6} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 27 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) tại \(C\). Đoạn thẳng \(MC\) có độ dài lớn nhất bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( { - 12; - 6;12} \right)//\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {21; - 2} \right)\) nên \(AB \bot \left( \alpha \right)\).
Trung điểm của \(AB\) là \(E\left( {3;12;0} \right)\).
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\).
Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) nên tâm \(I\) của \(\left( S \right)\) thuộc \(\left( \beta \right),\left( \beta \right)//\left( \alpha \right)\).
Suy ra bán kính của \(\left( S \right)\) bằng \({R_{\left( S \right)}} = IC = d\left( {E,\left( \alpha \right)} \right) = 15\).
Gọi \(H = AB \cap \left( \alpha \right)\). Ta có \(HC = EI = \sqrt {R_{\left( S \right)}^2 - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = 12\).
Suy ra \(C\) thuộc đường tròn \(\left( \omega \right)\) có tâm \(H\), bán kính \(r = 12\) nằm trong \(\left( P \right)\).
Vì \(H\) là giao điểm của \(AB:\dfrac{{x - 9}}{2} = \dfrac{{y - 15}}{1} = \dfrac{{z + 6}}{{ - 2}}\) và \(\left( P \right)\) nên \(H\left( { - 7;7;10} \right)\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(M\) lên \(\left( \alpha \right)\). Ta có \(MK:\dfrac{{x - 5}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 10}}{{ - 2}} \Rightarrow K\left( {1; - 1;14} \right)\).
Ta có \(HK = 12 = r\) nên \(K \in \left( \omega \right)\).
Ta có \(MC = \sqrt {M{K^2} + K{C^2}} = \sqrt {{6^2} + K{C^2}} \le \sqrt {{6^2} + {{(2r)}^2}} = \sqrt {6 + {{(2.12)}^2}} = 6\sqrt {17} \).
Giá trị lớn nhất của \(MC\) bằng \(6\sqrt {17} \) khi \(C\) trùng \(C'\) (là điểm đối xứng của \(K\) qua \(H\) ).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
