Biết rằng \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\) là một nguyên hàm của mỗi hàm số \(y =

Câu hỏi số 706955:

Vận dụng

Biết rằng \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\) là một nguyên hàm của mỗi hàm số \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{\rm{sin}}x + 2}}\) và \(y = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{{\rm{cos}}x + 2}}\) trên \(\mathbb{R}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = 0\) và \(x = \dfrac{\pi }{2}\) bằng

A. \(\dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\pi }}{2}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 \pi - 2}}{2}\).

C. \(\dfrac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}{2}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 \pi + 2}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706955

Giải chi tiết

Ta có \(F'\left( x \right) = x = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{\rm{sin}}x + 2}} \Rightarrow f\left( x \right) = x{\rm{sin}}x + 2x\) và

\(F'\left( x \right) = x = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{{\rm{cos}}x + 2}} \Rightarrow g\left( x \right) = x{\rm{cos}}x + 2x\)

Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = 0\) và \(x = \dfrac{\pi }{2}\) là

\(S = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} | f(x) - g(x)|dx = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} | x(\sin x - \cos x)|dx\)

\(\begin{array}{l} = \int_0^{\dfrac{\pi }{4}} x (\cos x - \sin x)dx + \int_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} x (\sin x - \cos x)dx\\ = \left. {x(\sin x + \cos x)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(\sin x + \cos x)} dx + \left. {x( - \cos x - \sin x)} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} - \int_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {( - \cos x - \sin x)} dx\\ = \dfrac{\pi }{4}\sqrt 2 - 1 - \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}\sqrt 2 + 1\\ = \dfrac{{\pi (\sqrt 2 - 1)}}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.