Hai con lắc lò xo gồm các lò xo có cùng độ cứng k = 50,0 N/m, các vật nhỏ m1 và m2 có khối

Câu hỏi số 710388:

Vận dụng cao

Hai con lắc lò xo gồm các lò xo có cùng độ cứng k = 50,0 N/m, các vật nhỏ m₁ và m₂ có khối lượng lần lượt là 50,0 g và 200 g, được gắn vào giá M như hình bên sao cho chúng có thể dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Giá M có khối lượng 250 g và được đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Biết giới hạn đàn hồi của lò xo là lớn. Ban đầu, hai vật m₁ và m₂ được giữ ở vị trí bên dưới vị trí cân bằng của mỗi vật một khoảng A. Thả nhẹ m₂ để nó dao động điều hòa. Sau khi thả m₂ một khoảng thời gian \(\Delta t\) thì thả nhẹ vật m₁ để nó dao động điều hòa. Biết A₀ là giá trị lớn nhất có thể có của A để với khoảng thời gian \(\Delta t\) thích hợp thì giá M không bao giờ rời khỏi bệ đỡ. Lấy g = 9,80 m/s². Giá trị của A₀ gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 6,0 cm.

B. 8,5 cm.

C. 4,5 cm.

D. 10,0 cm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:710388

Phương pháp giải

Viết phương trình và biểu thức của lực đàn hồi tác dụng lên vật M đối với từng vật \({m_1}\) và \({m_2}\).

Để vật M không bao giờ rời sàn: \({F_{dh1}} + {F_{dh2}} \le Mg\)

Sử dụng đạo hàm để xác định cực trị của bài toán.

Giải chi tiết

Chọn chiều dương thẳng đứng hướng lên.

Có \({m_2} = 4{m_1} \Rightarrow {\omega _1} = 2{\omega _2}\)

Chọn \(t = 0\) là lúc vật \({m_1}\) lên vị trí biên trên

\( \Rightarrow {x_1} = A\cos \left( {{\omega _1}t} \right) \Rightarrow {x_2} = A\cos \left( {{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right)\)

Với \(\Delta \varphi = {\omega _2}.\Delta t\) là độ lệch pha ban đầu của \({x_2}\) so với \({x_1}.\)

Lực đàn hồi của lò xo bên trên tác dụng lên vật M là:

\({F_{dh1}} = k{x_1} - mg = kA\cos \left( {{\omega _1}t} \right) - {m_1}g\)

Lực đàn hồi của lò xo bên dưới tác dụng lên vật M là:

\({F_{dh2}} = k{x_2} - mg = kA\cos \left( {{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right) - {m_2}g\)

Để vật M không bao giờ rời sàn: \({F_{dh1}} + {F_{dh2}} \le Mg\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow kA\left[ {\cos \left( {{\omega _1}t} \right) + \cos \left( {{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right)} \right] \le \left( {{m_1} + {m_2} + M} \right)g\\ \Leftrightarrow kA\left[ {\cos \left( {2{\omega _2}t} \right) + \cos \left( {{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right)} \right] \le \left( {{m_1} + {m_2} + M} \right)g\end{array}\)

Để \({A_{max}}\) thì \(\Delta \varphi \) là giá trị sao cho giá trị cực đại của \(\left[ {\cos \left( {2{\omega _2}t} \right) + \cos \left( {{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right)} \right]\)đạt nhỏ nhất.

Đặt \(x = {\omega _2}t\) và \(a = \Delta \varphi ,\) ta muốn tìm a sao cho giá trị cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {2x} \right) + \cos \left( {x + a} \right)\) nhỏ nhất

Đạo hàm \(f\left( x \right)\)để tìm các điểm cực trị \({x_c},\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 2\sin \left( {2{x_c}} \right) - \sin \left( {{x_c} + a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {2{x_c}} \right) = - \sin \left( {{x_c} + a} \right)\end{array}\)

Ta sẽ xem tọa độ điểm cực trị \({x_c}\) thỏa mãn phương trình trên là một hàm số theo a.

Giá trị của hàm số f (x) tại các điểm cực trị này là \(f\left( {{x_c}} \right) = \cos \left( {2{x_c}} \right) + \cos \left( {{x_c} + a} \right).\) Biểu thức này chỉ chứa a (ở trên đã nói \({x_c}\) được biểu diễn theo a). Do đó, ta có thể kí hiệu \(g\left( a \right) = f\left( {{x_c}} \right)\) được.

Đạo hàm \(g\left( a \right)\) theo a để tìm các điểm cực trị trong thay đổi \(f\left( {{x_c}} \right)\) và kí hiệu \({x'_c}\) là \({x_c}\) đạo hàm theo a, ta được

\(g'\left( a \right) = - 2\sin \left( {{x_c}} \right).{x'_c} - \sin \left( {{x_c} + a} \right)\left( {{{x'}_c} + 1} \right) = 0\)

Ta lại có: \(2\sin \left( {2{x_c}} \right) = - \sin \left( {{x_c} + a} \right)\) nên phương trình trên tương đương \(\sin \left( {{x_c} + a} \right) = 0.\)

Xét \(\sin \left( {{x_c} + a} \right) = 0,\) giải được \({x_c} + a = k\pi \) với k nguyên.

Và do \(2\sin \left( {2{x_c}} \right) = \sin \left( {{x_c} + a} \right) = 0\) nên \({x_c} = \dfrac{{k'\pi }}{2}\) với k’ là số nguyên.

Như vậy \(a = \left( {k - \dfrac{{k'}}{2}} \right)\pi \) với k và k’ nguyên, hay \(a = \dfrac{{n\pi }}{2}\) với n nguyên. Xét hai trường hợp:

+ n chẵn: \(f\left( x \right) = \cos \left( {2x} \right) + {\left( { - 1} \right)^{\dfrac{n}{2}}}\cos \left( x \right) \le 2\) tại \(x = 0\) khi n chia hết cho 4 hoặc \(x = \pi \) khi n chia 4 dư 2.

+ n lẻ: \(f\left( x \right) = \cos \left( {2x} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right) = 1 - {\sin ^2}x - {\left( { - 1} \right)^n}\sin \left( x \right)\)

Ta có: \(f\left( x \right) = 1 - 2{\left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{4}} \right]^2} + \dfrac{1}{8} \le \dfrac{9}{8},\) dấu bằng xảy ra khi \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{4}} \right).\)

\( \Rightarrow {\left[ {\cos \left( {2{\omega _2}t} \right) + \cos \left( {{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right)} \right]_{\min }} = 1,125\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A \le \dfrac{{\left( {{m_1} + {m_2} + M} \right)g}}{{k.1,125}}\\ \to A \le \dfrac{{\left( {0,05 + 0,2 + 0,25} \right).9,8}}{{50.1,125}} \approx 0,087\left( m \right) = 8,7\left( {cm} \right)\end{array}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.