Cho hai biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\) với \(x \ge 0\). So sánh
Cho hai biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\) với \(x \ge 0\). So sánh \(P\) và \({P^2}\).
Xét hiệu \(P - {P^2}\) để so sánh.
Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\)
Nhận thấy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x {\rm{\;}} + 2 > 0\;\,\,\forall x \ge 0}\\{\sqrt x {\rm{\;}} + 5 > 0\;\,\,\forall x \ge 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} > 0\;\,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow P > 0\;\,\,\forall x \ge 0\). (1)
Xét \(1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5 - \left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\).
Vì \(\sqrt x {\rm{\;}} + 5 > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x \ge 0\). (2)
Từ (1) và (2)\( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x \ge 0\).
Vậy \(P > {P^2}\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com