Cho hai biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\) với \(x \ge 0\). So sánh

Câu hỏi số 711140:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\) với \(x \ge 0\). So sánh \(P\) và \({P^2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:711140

Phương pháp giải

Xét hiệu \(P - {P^2}\) để so sánh.

Giải chi tiết

Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\)

Nhận thấy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x {\rm{\;}} + 2 > 0\;\,\,\forall x \ge 0}\\{\sqrt x {\rm{\;}} + 5 > 0\;\,\,\forall x \ge 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} > 0\;\,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow P > 0\;\,\,\forall x \ge 0\). (1)

Xét \(1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5 - \left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\).

Vì \(\sqrt x {\rm{\;}} + 5 > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x \ge 0\). (2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x \ge 0\).

Vậy \(P > {P^2}\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.