Cho các biểu thức: \(P = \dfrac{{2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,{\mkern

Câu hỏi số 711434:

Vận dụng

Cho các biểu thức: \(P = \dfrac{{2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,{\mkern 1mu} \left( {x \ge 0{\mkern 1mu} } \right)\). Tìm \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị là nguyên.

A. \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\)

B. \(x \in \left\{ {0; - 1} \right\}\)

C. \(x \in \left\{ {0;3} \right\}\)

D. \(x \in \left\{ {0; - 3} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:711434

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức để chặn giá trị của biểu thức P.

Giải chi tiết

\(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}\)

Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} + 1 \ge 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} \le 2}\\{ \Leftrightarrow 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} \le 4}\\{ \Leftrightarrow P \le 4}\end{array}\)

Mặt khác, do \(x \ge 0\) nên \(\dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} > 0 \Rightarrow 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} > 2 \Rightarrow P > 2\)

Do đó, \(2 < P \le 4\)

Mà \(P\) nhận giá trị nguyên, suy ra \(P = 3\) hoặc \(P = 4\)

Trường hợp 1: \(P = 3 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 3\)

\( \Rightarrow 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4 = 3\sqrt x {\rm{ \;}} + 3\) (vì \(x \ge 0,x \ne 9\))

\( \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} = 1\)

\( \Leftrightarrow x = 1\) (tmđk)

Trường hợp 2: \(P = 4 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 4\)

\( \Rightarrow 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4 = 4\sqrt x {\rm{ \;}} + 4\) (vì \(x \ge 0,x \ne 9\))

\( \Leftrightarrow 2\sqrt x {\rm{ \;}} = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 0\) (tmđk)

Vậy \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.