Cho các biểu thức: \(P = \dfrac{{2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,{\mkern
Cho các biểu thức: \(P = \dfrac{{2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,{\mkern 1mu} \left( {x \ge 0{\mkern 1mu} } \right)\). Tìm \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị là nguyên.
Đáp án đúng là: A
Sử dụng bất đẳng thức để chặn giá trị của biểu thức P.
\(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}\)
Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} + 1 \ge 1\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} \le 2}\\{ \Leftrightarrow 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} \le 4}\\{ \Leftrightarrow P \le 4}\end{array}\)
Mặt khác, do \(x \ge 0\) nên \(\dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} > 0 \Rightarrow 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} > 2 \Rightarrow P > 2\)
Do đó, \(2 < P \le 4\)
Mà \(P\) nhận giá trị nguyên, suy ra \(P = 3\) hoặc \(P = 4\)
Trường hợp 1: \(P = 3 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 3\)
\( \Rightarrow 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4 = 3\sqrt x {\rm{ \;}} + 3\) (vì \(x \ge 0,x \ne 9\))
\( \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} = 1\)
\( \Leftrightarrow x = 1\) (tmđk)
Trường hợp 2: \(P = 4 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 4\)
\( \Rightarrow 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 4 = 4\sqrt x {\rm{ \;}} + 4\) (vì \(x \ge 0,x \ne 9\))
\( \Leftrightarrow 2\sqrt x {\rm{ \;}} = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 0\) (tmđk)
Vậy \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com