Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B =
Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 25} \right)\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Quy về bài toán ước, bội và tìm giá trị nguyên lớn nhất của P.
Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 25.\)
Ta có: \(P = A.B = \dfrac{{4\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 1} \right)}}{{25 - x}}.\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = \dfrac{4}{{25 - x}}.\)
\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{25 - x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {25 - x} \right)\) hay \(\left( {25 - x} \right) \in U\left( 4 \right)\)
Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 - x} \right) \in \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 2;{\mkern 1mu} \pm 4} \right\}.\)
Ta có bảng giá trị:
\( \Rightarrow \) với \(x \in \left\{ {23;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 24;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 26;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 27;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)
Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất.
Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com