Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B =

Câu hỏi số 711439:

Vận dụng

Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 25} \right)\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi:711439

Phương pháp giải

Quy về bài toán ước, bội và tìm giá trị nguyên lớn nhất của P.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 25.\)

Ta có: \(P = A.B = \dfrac{{4\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 1} \right)}}{{25 - x}}.\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = \dfrac{4}{{25 - x}}.\)

\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{25 - x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {25 - x} \right)\) hay \(\left( {25 - x} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 - x} \right) \in \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 2;{\mkern 1mu} \pm 4} \right\}.\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) với \(x \in \left\{ {23;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 24;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 26;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 27;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)

Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất.

Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.