Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} -

Câu hỏi số 711440:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). Tìm m để phương trình \(m.A = \sqrt x - 2\) có hai nghiệm phân biệt.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:711440

Phương pháp giải

Quy về phương trình và biện luận theo điều kiện ban đầu để kết luận về tham số.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\)

Để \(m \cdot A = \sqrt x - 2\)

\(\; \Leftrightarrow m \cdot \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x - 2\)

\(\; \Leftrightarrow 2m\sqrt x - m = x - \sqrt x - 2\)

\(\; \Leftrightarrow x - \left( {2m + 1} \right)\sqrt x + m - 2 = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \sqrt x \left( {t \ge 0;{\rm{t}} \ne 1} \right)\) ta có phương trình:

\({\rm{\;(1)\;}} \Leftrightarrow {t^2} - \left( {2m + 1} \right)\sqrt x + m - 2 = 0\left( {\rm{*}} \right)\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và \({t_2} > {t_1} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{P \ge 0}\\{S > 0}\\{a + b + c \ne 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{[ - \left( {2m + 1} \right)]}^2} - 4 \cdot \left( {m - 2} \right) > 0}\\{m - 2 \ge 0}\\{2m + 1 > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + m - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{m^2} + 9 > 0\forall m}\\{m \ge 2}\\{m > \dfrac{{ - 1}}{2}}\\{m \ne - 2}\end{array}{\rm{\;}} \Leftrightarrow m \ge 2} \right.} \right.\)

Vậy với \(m \ge 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link