Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} -

Câu hỏi số 711440:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). Tìm m để phương trình \(m.A = \sqrt x - 2\) có hai nghiệm phân biệt.

Xem lời giải

Câu hỏi:711440

Phương pháp giải

Quy về phương trình và biện luận theo điều kiện ban đầu để kết luận về tham số.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\)

Để \(m \cdot A = \sqrt x - 2\)

\(\; \Leftrightarrow m \cdot \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x - 2\)

\(\; \Leftrightarrow 2m\sqrt x - m = x - \sqrt x - 2\)

\(\; \Leftrightarrow x - \left( {2m + 1} \right)\sqrt x + m - 2 = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \sqrt x \left( {t \ge 0;{\rm{t}} \ne 1} \right)\) ta có phương trình:

\({\rm{\;(1)\;}} \Leftrightarrow {t^2} - \left( {2m + 1} \right)\sqrt x + m - 2 = 0\left( {\rm{*}} \right)\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và \({t_2} > {t_1} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{P \ge 0}\\{S > 0}\\{a + b + c \ne 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{[ - \left( {2m + 1} \right)]}^2} - 4 \cdot \left( {m - 2} \right) > 0}\\{m - 2 \ge 0}\\{2m + 1 > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + m - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{m^2} + 9 > 0\forall m}\\{m \ge 2}\\{m > \dfrac{{ - 1}}{2}}\\{m \ne - 2}\end{array}{\rm{\;}} \Leftrightarrow m \ge 2} \right.} \right.\)

Vậy với \(m \ge 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.