Trong không gian O x y z, cho đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu \((S):{x^2} +

Câu hỏi số 719666:

Vận dụng

Trong không gian O x y z, cho đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và mặt phẳng \((P):2x + y - 2z - 3 = 0\). Xét mặt cầu (T) đi qua (C) và tiếp xúc mặt phẳng \((Q):2x + y - 2z + 1 = 0\). Tính bán kính của (T). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,79

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:719666

Phương pháp giải

Gọi \(I,r\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\)

TH1: \(I\) nằm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

TH2: \(I\) không nằm giữa không gian giới hạn bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

Giải chi tiết

Đáp số: 1,79

Ta có: \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2.\)

Gọi \(H\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\).

\(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OH = \dfrac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1.\)

Ta có: \(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 .\)

Chọn \(M\left( {0;3;0} \right) \in \left( P \right)\).

Ta có: \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{4}{3}.\)

Gọi \(I,r\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\)

TH1: \(I\) nằm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Đặt \(IH = x\left( {x > 0} \right).\)

Ta có: \(r = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{x^2} + 3} \).

Lại có: \(r = d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) - IH = \dfrac{4}{3} - x.\)

Do đó: \(\sqrt {{x^2} + 3} = \dfrac{4}{3} - x \Leftrightarrow x = - \dfrac{{11}}{{24}}.\) (Loại)

TH2: \(I\) không nằm giữa không gian giới hạn bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

Đặt \(IH = x\left( {x > 0} \right).\)

Ta có: \(r = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{x^2} + 3} \).

Lại có: \(r = IH + d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = x + \dfrac{4}{3}.\)

Do đó: \(\sqrt {{x^2} + 3} = x + \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{{24}}.\)

Khi đó \(r = x + \dfrac{4}{3} = \dfrac{{11}}{{24}} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{{43}}{{24}} \approx 1,79.\)

Đáp án cần điền là: 1,79

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.