Cho đường tròn (O), từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA
Cho đường tròn (O), từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA và MB đến đường tròn (O), với A, B là tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AC, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C). Chứng minh rằng: \(M{B^2} = MC \cdot MD\).
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Chứng minh đường thẳng MC đi qua trung điểm của đoạn BH.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do MA, MB là tiếp tuyến nên \(\angle OAM = \angle OBM = {90^0}\)
Xét tứ giác OAMB có \(\angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OAMB nội tiếp (dhnb)
b) Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MCB\) có \(\angle BMC\) chung
\(\angle MBD = \angle MCB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)
\( \Rightarrow \Delta MBD\)~ \(\Delta MCB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{{MD}}{{MB}}\)
\( \Leftrightarrow M{B^2} = MC.MD\)
c) Gọi E là giao điểm của BH và MC, gọi F là giao điểm của MO và AB
Ta có \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OA = OB = R\)
\( \Rightarrow OM\) là trung trực của AB
\( \Rightarrow OM \bot AB\) tại F là trung điểm của AB
\( \Rightarrow M{B^2} = MF.MO\) (hệ thức lượng)
Mà \(M{B^2} = MC.MD\left( {cmt} \right) \Rightarrow MF.MO = MD.MC \Rightarrow \dfrac{{MF}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MO}}\)
Kết hợp với \(\angle OMC\) chung nên \(\Delta MFD\)~ \(\Delta MCO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MFD = \angle MCO\)
\( \Rightarrow OFDC\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle FDC = \angle AOM\) (góc ngoài của đỉnh đối diện)
\(\angle AOM = \angle ABM = \angle ACB = \dfrac{1}{2}sd\,cungAB\)
\(\angle ACB = \angle ABH\) (cùng phụ với \(\angle CBH\))
\( \Rightarrow \angle FDC = \angle ABH\)
\( \Rightarrow EFDB\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle EFB = \angle EDB\) (cùng chắn EB)
Mà \(\angle EDB = \angle CAB\) (cùng chắn BC)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle EFB = \angle CAB\\ \Rightarrow EF\parallel AC\end{array}\)
Mà F là trung điểm AB nên E là trung điểm HB (tính chất đường trung bình)
Vậy MC đi qua trung điểm của đoạn BH.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
