Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O).
Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b) Tia CB cắt tia DE tại F. Chứng minh \(FB.FC = FE.FD\).
c) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AF cắt (O) tại điểm thứ hai
là K. Chúmg minh KM là tia phân giác của \(\angle {EKC}\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do \(BD,CE\) là đường cao nên \(\angle HDA = \angle HEA = {90^0}\)
Xét tứ giác ADHE có \(\angle HDA + \angle HEA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ADHE nội tiếp (dhnb)
b) Ta có \(\angle BEC = \angle CDB = {90^0} \Rightarrow B,C,D,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Xét \(\Delta FBD\) và \(\Delta FEC\) có \(\angle CFD\) chung
\(\angle BDF = \angle ECF\) (cùng chắn cung BE)
\( \Rightarrow \Delta FBD\)~ \(\Delta FEC\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FE}} = \dfrac{{FD}}{{FC}}\)
\( \Rightarrow FB.FC = FE.FD\)
c) Kẻ đường kính AP của (O)
Do H là trực tâm của tam giác ABC
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BH\parallel CP\left( { \bot AC} \right)\\CH\parallel BP\left( { \bot AB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HBPC\) là hình bình hành
Mà M là trung điểm của BC nên \(P,M,H\) thẳng hàng
AP là đường kính nên \( \Rightarrow PH \bot AK\) (1)
Ta có \(\Delta FAB \sim \Delta FCK\left( {g.g} \right) \Rightarrow FB.FC = FK.FA\)
Mà \(FB.FC = FE.FD \Rightarrow FE.FD = FK.FA \Rightarrow KEDA\) nội tiếp
Mà AEHD nội tiếp nên A, K, E, H, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AH
\( \Rightarrow AK \bot KH \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra K,H,P, M thẳng hàng
Ta có \(\angle EKH = \angle EDH\) (cùng chắn EH)
Mà \(\angle EDH = \angle ECB\) (cùng chắn EB)
\( \Rightarrow \angle EKH = \angle ECB \Rightarrow EKCM\) nội tiếp
Mà ME = MC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền)
\( \Rightarrow \angle EKM = \angle MKC\) (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Vậy KM là phân giác của góc EKC (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
