Cho phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 6m - 4 = 0\quad (*)\), với \(m\) là tham số.a) Giải phương trình

Câu hỏi số 720647:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 6m - 4 = 0\quad (*)\), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình \((*)\) khi \(m = 2\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720647

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 2\) và giải phương trình.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Với \(m = 2\) thì \((*) \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 8 = 0\)

\(\Delta ' = {3^2} - 1.8 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{1} = - 2\\{x_2} = \dfrac{{ - 3 - 1}}{1} = - 4\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 2, - 4} \right\}\)

b) \({x^2} + 2(m + 1)x + 6m - 4 = 0\quad (*)\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {6m - 4} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 6m + 4 = {m^2} - 4m + 5 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0\forall m\)

nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi m

Theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 6m - 4\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} + 3{x_1} + 3{x_2} = 6m - 4 - 6m - 6 \Rightarrow {x_1}{x_2} + 3{x_2} = - 10 - 3{x_1}\)

Do \({x_1}\) là nghiệm của (*) nên \({x_1}^2 + 2(m + 1){x_1} + 6m - 4 = 0 \Leftrightarrow {x_1}^2 + 6{x_1} + 9 = 4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13\)

Thay vào \(\left( {4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1}^2 + 6{x_1} + 9} \right){x_2}^2 - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + 3} \right)^2}{x_2}^2 - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2} + 3{x_2}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 10 - 3{x_1}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow 9{x_1}^2 + 60{x_1} + 100 - 24{x_1} = 0\\ \Leftrightarrow 9{x_1} + 36{x_1} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_1} = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_1} = 0 \Rightarrow 6m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\)

Với \({x_1} = - 4 \Rightarrow - 4{x_2} + 3.\left( { - 4} \right) + 3{x_2} = - 10 \Leftrightarrow {x_2} = - 2\)

\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 6 \Rightarrow - 2m - 2 = - 6 \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy \(m \in \left\{ {\dfrac{2}{3};2} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link