Cho phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 6m - 4 = 0\quad (*)\), với \(m\) là tham số.a) Giải phương trình

Câu hỏi số 720647:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 6m - 4 = 0\quad (*)\), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình \((*)\) khi \(m = 2\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720647

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 2\) và giải phương trình.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Với \(m = 2\) thì \((*) \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 8 = 0\)

\(\Delta ' = {3^2} - 1.8 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{1} = - 2\\{x_2} = \dfrac{{ - 3 - 1}}{1} = - 4\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 2, - 4} \right\}\)

b) \({x^2} + 2(m + 1)x + 6m - 4 = 0\quad (*)\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {6m - 4} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 6m + 4 = {m^2} - 4m + 5 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0\forall m\)

nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi m

Theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 6m - 4\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} + 3{x_1} + 3{x_2} = 6m - 4 - 6m - 6 \Rightarrow {x_1}{x_2} + 3{x_2} = - 10 - 3{x_1}\)

Do \({x_1}\) là nghiệm của (*) nên \({x_1}^2 + 2(m + 1){x_1} + 6m - 4 = 0 \Leftrightarrow {x_1}^2 + 6{x_1} + 9 = 4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13\)

Thay vào \(\left( {4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1}^2 + 6{x_1} + 9} \right){x_2}^2 - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + 3} \right)^2}{x_2}^2 - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2} + 3{x_2}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 10 - 3{x_1}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow 9{x_1}^2 + 60{x_1} + 100 - 24{x_1} = 0\\ \Leftrightarrow 9{x_1} + 36{x_1} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_1} = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_1} = 0 \Rightarrow 6m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\)

Với \({x_1} = - 4 \Rightarrow - 4{x_2} + 3.\left( { - 4} \right) + 3{x_2} = - 10 \Leftrightarrow {x_2} = - 2\)

\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 6 \Rightarrow - 2m - 2 = - 6 \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy \(m \in \left\{ {\dfrac{2}{3};2} \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link