Cho tam giác ABC có CA > CB và nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Các tiếp tuyến với
Cho tam giác ABC có CA > CB và nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của MO và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác OCMA nội tiếp và HA = HC.
b) Vẽ CK vuông góc với \({\rm{AB}}({\rm{K}} \in {\rm{AB}})\) và HE vuông góc với \({\rm{CK}}({\rm{E}} \in {\rm{CK}})\). Chứng minh rằng \({\rm{HE}}.{\rm{CM}} = {\rm{HM}}.{\rm{CH}}\) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{OKH}}\) nằm trên đường thẳng \({\rm{OC}}\).
c) Chứng minh rằng ba điểm \({\rm{M}},{\rm{E}},{\rm{B}}\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do MA, MC là tiếp tuyến nên \(\angle MAO = \angle MCO = {90^0}\)
Xét tứ giác OCMA có \(\angle MAO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OCMA nội tiếp (dhnb)
Ta có MA = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC (=R)
\( \Rightarrow MO\) là trung trực của AC
\( \Rightarrow MO \bot AC\) tại trung điểm H của AC
\( \Rightarrow HA = HC\)
b) \(HE\parallel AB\left( { \bot CK} \right),HA = HC \Rightarrow HE\)là đường trung bình của \(\Delta ACK \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AK\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta AKC\) có:
\(\angle MHC = \angle AKC\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle HMC = \angle CAK\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OC)
\( \Rightarrow \Delta MHC\)~\(\Delta AKC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AK}} = \dfrac{{MC}}{{AC}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MH.AC = MC.AK\\ \Leftrightarrow MH.2HC = MC.2HE\\ \Leftrightarrow MH.HC = MC.HE\end{array}\)
Ta có \(\angle CHO + \angle OKC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác HOKC nội tiếp đường tròn đường kính OC (dhnb)
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{OKH}}\) nằm trên đường thẳng \({\rm{OC}}\).
c) Gọi MB cắt CK tại E’, cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Ta đi chứng minh E’ là trung điểm của CK
Ta có \(\Delta MCF\)~\(\Delta MBC\left( {g.g} \right)\left( {do\,\,\angle CMB\,\,chung,\,\,\angle MCF = \angle MBC} \right)\)
\( \Rightarrow M{C^2} = MF.MB\)
Mà \(M{C^2} = MH.MO\) (hệ thức lượng)
\( \Rightarrow MH.MO = MF.MB \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{MF}} = \dfrac{{MB}}{{MO}} \Rightarrow \Delta MFO\)~\(\Delta MOB\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle MHF = \angle MBO\)
\( \Rightarrow OHFB\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle BFH = \angle HOA\) (góc ngoài của đỉnh đối diện)
Mà \(\angle HOA = \angle ACK\) (cùng phụ với \(\angle KAC\))
\( \Rightarrow \angle BFH = \angle ACK\) hay \(\angle E'FH = \angle E'CH \Rightarrow HE'CF\) nội tiếp
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle E'HC = \angle E'FC = \angle BFC = \angle BAC\\ \Rightarrow HE'\parallel AB\end{array}\)
Mà H là trung điểm AC nên E’ là trung điểm CK (đường trung bình)
\( \Rightarrow E' \equiv E\)
Vậy \({\rm{M}},{\rm{E}},{\rm{B}}\) thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
