Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (với \(OM \ne 2R\)). Qua M kẻ hai tiếp
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (với \(OM \ne 2R\)). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O) tại C (khác A), đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại E (khác C). Chứng minh \(\angle AEB = \angle BEM\)
c) Gọi H là giao điểm của OM và AB; I là điểm đối xứng của E qua OM. Chứng minh: \(ME.MC = MH.MO\)và ba điểm C, H, I thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot OA,MB \bot OB\)hay \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \angle OAM + \angle OBM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Mà hai góc này ở vị trí đối diện
Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
b) Vì\(AC{\rm{//}}MB\)(gt) nên \(\angle ACE = \angle BME\)(hai góc so le trong)
mà \(\angle ABE = \angle ACE\)(góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
\( \Rightarrow \angle ABE = \angle BME\)
Xét tam giác ABE và tam giác BME có:
\(\angle ABE = \angle BME\) (cmt)
\(\angle BAE = \angle MBE\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung BE)
\( \Rightarrow \Delta ABE\)~ \(\Delta BME\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AEB = \angle BEM\)(hai góc tương ứng)
c) Xét tam giác AME và tam giác CMA có:
Góc M chung
\(\angle MAE = \angle ACM\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung AE)
\( \Rightarrow \Delta AME\)~ \(\Delta CMA\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{ME}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow M{A^2} = ME.MC\)(1)
MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên \(MA = MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(OA = OB = R\) nên MO là đường trung trực của AB
\( \Rightarrow AB \bot MO\) tại H.
Xét tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH ta có:\(M{A^2} = MH.MO\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(ME.MC = MH.MO\)(đpcm)
Do I đối xứng với E qua OM
\( \Rightarrow OM\) là trung trực của EI \( \Rightarrow OE = OI \Rightarrow I \in \left( {O,R} \right)\)
Do \(ME.MC = MH.MO \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MC}} \Rightarrow \Delta MEH\)~ \(\Delta MOC \Rightarrow \angle MHE = \angle MCO\)
\( \Rightarrow EHOC\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle EHC = \angle EOC\) (cùng chắn cung EC)
Ta có \(\angle IEM = \angle MHE\) (tính chất trung trực)
Mà \(\angle MHE = \angle MCO\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle IHE + \angle EHC = 2\angle MHE + \angle EOC = \angle 2MCO + \angle EOC = \angle MCO + \angle CEO + \angle EOC = {180^0}\)
Vậy C, H, I thẳng hàng
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
