Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB > AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại A và B
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB > AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M.
a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp.
b) Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm N. Chứng minh \(M{B^2} = MC.MN\).
c) Gọi I là trung điểm của CN. Tia BI cắt đường tròn (O) tại điểm E. Chứng minh OI vuông góc với AE.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Ta có:\(\angle OAM = \angle OBM = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \(OAMB\) nội tiếp (đpcm).
b) Ta có: \(\angle MBN = \dfrac{1}{2}sd\,cungBN\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BN)
\(\angle BCM = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,BN\) (góc nội tiếp chắn cung BN)
\(\angle MBN = \angle BCM\)
Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta NMB\) có:
\(\angle M\) chung
\(\angle MBN = \angle BCM\)
\( \Rightarrow \Delta BMC\)~ \(\Delta NMB \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MN}} = \dfrac{{MC}}{{MB}} \Rightarrow M{B^2} = MC.MN\) (đpcm)
c) I là trung điểm của CN nên \(OI \bot CN\) suy ra \(\angle OIM = 90^\circ \).
Xét tứ giác OIBM có:
\(\angle OIM = \angle MBO = 90^\circ \Rightarrow \angle OIM + \angle MBO = 180^\circ \)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OIBM nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle MIB = \angle BOM\) (góc nội tiếp cùng chắn MB) (1)
Ta có M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B nên \(\angle BOM = \dfrac{1}{2}\angle BOA = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB\).
\(\angle AEB = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB\) (góc nội tiếp chắn cung AB)
Suy ra \(\angle BOM = \angle AEB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MIB = \angle AEB\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AE//NC\)
Mà \(OI \bot NC\) (cmt) suy ra \(OI \bot AE\) (từ vuông góc đến song song) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
