Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^2} - 2\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(C(1;4)\).

Câu hỏi số 723345:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^2} - 2\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(C(1;4)\). Tính tổng các giá trị nguyên dương của \(m\) để \((C)\) có hai điểm cực trị \(A,B\) sao cho tam giác \(ABC\) có diện tích bằng 4 .

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723345

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2m}\end{array}} \right.\)

Đồ thị \((C)\) có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

Khi đó \(A\left( {0;4{m^2} - 2} \right),B\left( {2m; - 4{m^3} + 4{m^2} - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = 2|m|\sqrt {4{m^4} + 1} \)

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\dfrac{{x - 0}}{{2m - 0}} = \dfrac{{y - \left( {4{m^2} - 2} \right)}}{{ - 4{m^3}}} \Leftrightarrow 2{m^2}x + y - 4{m^2} + 2 = 0\)

\(d(C,AB) = \dfrac{{\left| {2{m^2} + 4 - 4{m^2} + 2} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = \dfrac{{2\left| {{m^2} - 3} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là

\(S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot d(C,AB) = 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \cdot 2|m| \cdot \sqrt {4{m^4} + 1} \cdot \dfrac{{2\left| {{m^2} - 3} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left| {m\left( {{m^2} - 3} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow {m^6} - 6{m^4} + 9{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \pm 1}\\{m = \pm 2}\end{array}} \right.\)

Do \(m\) nguyên dương nên ta được \(m = 1,m = 2\), tổng thu được là 3 .

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.