Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).a) Giải phương trình với

Câu hỏi số 723959:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn: \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723959

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình và giải.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình trở thành: \({x^2} - x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

b) Xét phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4.\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 = - 4m + 5\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow - 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{4}\).

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m - 1\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

\( \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} - 2{x_1}^2 - 2{x_2}^2 + 4{x_1}{x_2} = 9\)

\( \Leftrightarrow 9{x_1}.{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 9\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào phương trình ta có:

\( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 1} \right) - 2{\left( {2m - 1} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow 9{m^2} - 9 - 8{m^2} + 8m - 2 = 9\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 8m - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {ktm} \right)\\m = - 10\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = - 10\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn:

\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.