Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).a) Giải phương trình với

Câu hỏi số 723959:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn: \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723959

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình và giải.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình trở thành: \({x^2} - x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

b) Xét phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4.\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 = - 4m + 5\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow - 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{4}\).

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m - 1\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

\( \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} - 2{x_1}^2 - 2{x_2}^2 + 4{x_1}{x_2} = 9\)

\( \Leftrightarrow 9{x_1}.{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 9\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào phương trình ta có:

\( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 1} \right) - 2{\left( {2m - 1} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow 9{m^2} - 9 - 8{m^2} + 8m - 2 = 9\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 8m - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {ktm} \right)\\m = - 10\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = - 10\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn:

\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link