Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\). Tính \(\sin \alpha \).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Cách 1: Ta có: \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\) nên \(MN//BD\).
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot BD,\,SO \bot MN\).
Gọi \(I = SO \cap MN \Rightarrow I\) là trung điểm của \(MN\,,\,SO \Rightarrow AI \bot MN\).
Ta có: \(\left( {AMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = MN \,;\,AI \bot MN,\,SO \bot MN\)
nên \(\left( {\left( {AMN} \right);\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AI;SO} \right)\).
Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\) có \(SA = a,\,AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\)
nên \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a\,\)
\( \Rightarrow \,\sin \angle {ASO} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\,;\,\cos \angle {ASO} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\,\).
Mà \(\angle {AIO} = 2.\angle {ASO}\, \Rightarrow \,\sin \angle {AIO} = 2.\sin \angle {ASO}.\,\cos \angle {ASO}\, = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Cách 2: Toạ độ hoá.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
