Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số \(y=x^3-3 m x^2+3\left(m^2-1\right) x+2025\), (tham số \(m\) ). Xét tính

Câu hỏi số 728380:
Vận dụng

Cho hàm số \(y=x^3-3 m x^2+3\left(m^2-1\right) x+2025\), (tham số \(m\) ). Xét tính đúng sai của các khẳng đinh sau:

Đúng Sai
a) Khi \(m=1\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\)
b) Khi \(m=1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \((0 ; 2)\)
c) Khi \(m=1\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \((0 ;+\infty)\) bằng -4.
d) Có tất cả 1 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \((0 ;+\infty)\)

Đáp án đúng là: Đ; S; S; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:728380
Phương pháp giải

Tính đạo hàm $y'$, tìm các nghiệm của phương trình $y' = 0$ để xác định các điểm cực trị của hàm số theo tham số $m$.

Lập bảng biến thiên (hoặc xét dấu đạo hàm) để khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị.

Đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất trên một khoảng mở, ta cần kết hợp điều kiện điểm cực tiểu nằm trong khoảng đó và giá trị tại điểm cực tiểu phải bé hơn hoặc bằng giới hạn của hàm số tại các đầu mút mở.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1)$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow (x - m)^2 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m + 1 \\ x = m - 1 \end{array} \right.$.

Vì $m - 1 < m + 1$ với mọi $m$ nên phương trình $y' = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Hàm số bậc ba có hệ số $a = 1 > 0$ nên luôn đạt cực đại tại $x = m - 1$ và đạt cực tiểu tại $x = m + 1$.

Xét khi $m = 1$:

Hàm số trở thành $y = x^3 - 3x^2 + 2025$.

Đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$, $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 + 1 = 2$. Do đó mệnh đề a) Đúng.

Bảng xét dấu $y'$ cho thấy $y' < 0$ với mọi $x \in (0; 2)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. Do đó mệnh đề b) Sai.

Trên khoảng $(0; +\infty)$, hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ và đồng biến trên $(2; +\infty)$.

Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 2$

Giá trị nhỏ nhất là $y(2) = 2^3 - 3.2^2 + 2025 = 2021 \neq -4$. Do đó mệnh đề c) Sai.

Xét mệnh đề d):

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; +\infty)$ thì trước hết điểm cực tiểu phải thuộc khoảng $(0; +\infty)$, tức là:

$x_{CT} \in (0; +\infty) \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -1$.

Ta có giới hạn của hàm số khi $x \to 0^+$ là $\lim_{x \to 0^+} y = y(0) = 2025$.

Giá trị cực tiểu của hàm số là:

$y(m+1) = (m+1)^3 - 3m(m+1)^2 + 3(m^2-1)(m+1) + 2025$

$y(m+1) = (m+1)[(m+1)^2 - 3m(m+1) + 3(m^2-1)] + 2025$

$y(m+1) = (m+1)(m^2 + 2m + 1 - 3m^2 - 3m + 3m^2 - 3) + 2025$

$y(m+1) = (m+1)(m^2 - m - 2) + 2025 = (m+1)^2(m-2) + 2025$.

Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$:

Trường hợp 1: Điểm cực đại $x_{CD} \le 0 \Leftrightarrow m - 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le 1$. Kết hợp với $m > -1$ ta được $m \in (-1; 1]$.

Lúc này trên khoảng $(0; +\infty)$, hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực tiểu $x = m+1$. Hàm số nghịch biến trên $(0; m+1)$ và đồng biến trên $(m+1; +\infty)$.

Vậy $\min_{(0;+\infty)} y = y(m+1)$.

Tức là hàm số luôn có giá trị nhỏ nhất. 

Trường hợp 2: Điểm cực đại $x_{CD} > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$.

Lúc này trên khoảng $(0; +\infty)$ chứa cả điểm cực đại và cực tiểu.

Hàm số đồng biến trên $(0; m-1)$, nghịch biến trên $(m-1; m+1)$ và đồng biến trên $(m+1; +\infty)$.

Khi đó, hàm số đi lên từ giới hạn $y(0) = 2025$, sau đó đi xuống điểm cực tiểu $y(m+1)$.

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$ thì giá trị cực tiểu phải bé hơn hoặc bằng giới hạn tại mút $0$ (nếu lớn hơn thì khoảng mở tại $0$ sẽ làm hàm số không có min do nó tiến về $2025$ nhưng không bao giờ đạt được).

Do đó: $y(m+1) \le 2025 \Leftrightarrow (m+1)^2(m-2) + 2025 \le 2025 \Leftrightarrow (m+1)^2(m-2) \le 0$.

Vì $m > 1$ nên $(m+1)^2 > 0$, suy ra $m - 2 \le 0 \Leftrightarrow m \le 2$. 

Kết hợp cả hai trường hợp, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$ khi và chỉ khi $m \in (-1; 2]$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{0; 1; 2\}$.

Có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu, chứ không phải 1. Do đó mệnh đề d) Sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →