Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường
Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. Lấy điểm \(M\) trên đường tròn \(\left( {MA < MB} \right)\). Tiếp tuyến tại điểm \(M\) của \(\left( O \right)\) cắt Ax và By lần lượt tại \(C\) và \(D\).
a) Chứng minh rằng: \(CD = AC + BD\) và góc COD vuông
b) OD cắt MB tại điểm \(I\). Chứng minh OD vuông góc với MB và OD song song với MA.
c) AD cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Chứng minh \(DI.DO = DE.DA\).
Quảng cáo
a) Vận dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau trong một đường tròn.
b) Vận dụng quan hệ từ vuông góc đến song song.
c) Chứng minh \(DI.DO = DE.DA\left( { = B{D^2}} \right)\) (sử dụng tam giác đồng dạng)
a)
+) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:
Ax và MC là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(C\) nên \(AC = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
By và MD là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(D\) nên \(DM = DB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Khi đó \(CD = CM + MD = AC + BD\)
+) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:
Ax và MC là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(C\) nên \(OC\) là phân giác của \(\angle AOM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
By và MD là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(D\) nên \(OD\) là phân giác của \(\angle BOM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(\angle AOM\) và \(\angle BOM\) là hai góc kề bù nên \(\angle COD = \dfrac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)
b) Ta có: \(DB = DM\left( {cmt} \right)\) và \(OB = OM\left( { = R} \right)\)
Suy ra \(OD\) là trung trực của MB hay \(OD \bot MB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AMB\) có \(OM = OA = OB\) hay \(OM = \dfrac{1}{2}AB\) nên \(\Delta AMB\) vuông tại M.
Suy ra \(AM \bot MB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), suy ra \(AM\,{\rm{//}}\,OD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
c) Xét \(\Delta OBD\) và \(\Delta BID\) có:
\(\angle {BDO}\) chung
\(\angle {OBD} = \angle {BID} = 90^\circ \)
Suy ra \(\Delta OBD\)~\(\Delta BID\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{OD}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{ID}}\) hay \(DI.DO = B{D^2}\) (*)
Xét \(\Delta AEB\) có \(OE = OA = OB\) hay \(OE = \dfrac{1}{2}AB\) nên \(\Delta AEB\) vuông tại E.
Suy ra \(AE \bot EB\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BED\) có:
\(\angle {BDA}\) chung
\(\angle {ABD} = \angle {BED} = 90^\circ \)
Suy ra \(\Delta ABD\)~\(\Delta BED\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{DA}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DE}}\) hay \(DA.DE = B{D^2}\) (**)
Từ (*) và (**), suy ra \(DI.DO = DE.DA\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
