Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính BC, điểm \(A\) thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính BC, điểm \(A\) thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (\(K\) và \(A\) nằm cùng phía với BC). Tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) cắt OK ở \(I,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OI\) cắt AC tại \(H\). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC vuông tại \(A\).
b) AI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
c) CK là phân giác của \(\angle {ACI}\).
Quảng cáo
a) Sử dụng đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện.
b) Chứng minh \(\Delta AOI = \Delta COI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \angle {OAI} = \angle {OCI}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\angle {OCI} = {90^0}\) (vì CI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên \(\angle {OAI} = {90^0}\)
Vậy AI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
c) Vận dụng tính chất của tam giác cân, tính chất: trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
a) Xét \(\Delta ABC\) có: OA = OB = OC (bán kính)
Khi đó \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông.
b) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (cmt) nên \(BA \bot AC\)
Mà AB // OI\((gt)\) nên \(OI \bot AC\) tại \(H\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét \(\Delta OAC\) có \(OA = OC\) (bán kính) nên \(\Delta OAC\) cân tại \(O\) mà OH là đường cao
\( \Rightarrow OH\) cũng là phân giác của \(\angle {AOC}\) hay \(\angle {AOI} = \angle {COI}\)
Xét \(\Delta AOI\) và \(\Delta COI\) có:
OI chung
\(OA = OC\) (bán kính)
\(\angle {AOI} = \angle {COI}\) (cmt)
Suy ra \(\Delta AOI = \Delta COI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c - g - c} \right)\)
Khi đó \(\angle {OAI} = \angle {OCI}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\angle {OCI} = {90^0}\) (vì CI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên \(\angle {OAI} = {90^0}\)
Vậy AI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
c) Vì \(\Delta OKC\) cân tại \(O\) (vì \(OK = OC\)) nên \(\angle {HKC} = \angle {OCK}\) (tính chất tam giác cân)
Có \(OI \bot AC\) tại \(H\) (cmt) nên \(\Delta HKC\) vuông tại \(H\)
Suy ra \(\angle {HKC} + \angle {KCH} = {90^0}\) hay \(\angle {OCK} + \angle {KCH} = {90^0}\)
Mà \(\angle {OCK} + \angle {KCI} = {90^0}\) (vì CI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên \(\angle {KCH} = \angle {KCI}\)
Vậy \(CK\) là phân giác của \(\angle {ACI}\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
