Người ta muốn xây một đoạn đường \(AB\) (như hình vẽ) và đoạn đường

Câu hỏi số 728608:

Vận dụng

Người ta muốn xây một đoạn đường \(AB\) (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm \(M\)Biết rằng vị trí điểm \(M\) cách \(OD\) \(125m\) và cách \(OE\) \(1km\). Giả sử chi phí để làm \(100m\) đường là \(150\) triệu đồng. Chọn vị trí của \(A\) và \(B\) để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2,1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728608

Giải chi tiết

Đề hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn \(A,B\) sao cho đoạn thẳng\(AB\)là bé nhất. Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) và tìm giá trị nhỏ nhất.

Chọn hệ toạ độ \(xOy\) như hình dưới đây với \(OD\) nằm trên tia \(Oy\). Khi đó điểm \(M\left( {\dfrac{1}{8};1} \right)\).

Gọi \(B\left( {m;0} \right),\,A\left( {0;n} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {m,n > 0} \right)\).

Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là \(\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1\).

Do đường thẳng đi qua \(M\left( {\dfrac{1}{8};1} \right)\) nên \(\dfrac{1}{{8m}} + \dfrac{1}{n} = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{n} = 1 - \dfrac{1}{{8m}} = \dfrac{{8m - 1}}{{8m}} \Rightarrow n = \dfrac{{8m}}{{8m - 1}}\).

Có \(A{B^2} = {m^2} + {n^2} = {m^2} + \left( {\dfrac{{8m}}{{8m - 1}}} \right) = f\left( m \right)\).

Xét hàm số \(f\left( m \right)\), ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) = 2m + 2.\dfrac{{8m}}{{8m - 1}}.\dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {8m - 1} \right)}^2}}} = 2m.\left( {1 - \dfrac{{64}}{{{{\left( {8m - 1} \right)}^3}}}} \right);\,\\f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\left( {loai} \right)\\1 - \dfrac{{64}}{{{{\left( {8m - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {8m - 1} \right)^3} = 64 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{8}\)

\(f\left( m \right) \ge f\left( {\dfrac{5}{8}} \right) = {\left( {\dfrac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{8.\dfrac{5}{8}}}{{8.\dfrac{5}{8} - 1}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{64}} + \dfrac{{25}}{{16}} = \dfrac{{125}}{{64}}\)

\( \Rightarrow AB \ge \sqrt {\dfrac{{125}}{{64}}} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{8}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất là \(\dfrac{{5\sqrt 5 }}{8}\,\left( {km} \right)\)

Giá để làm \(1\,km\) đường là \(1500\) triệu đồng \( = 1,5\) tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là \(\dfrac{{5\sqrt 5 }}{8}.1,5 \approx 2,1\) (tỷ đồng).

Đáp án cần điền là: 2,1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.