Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài là \(1\). Nối các trung điểm của

Câu hỏi số 728727:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài là \(1\). Nối các trung điểm của hình vuông này ta được hình vuông thứ hai. Nối các trung điểm của hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như vậy ta được một dãy các hình vuông.

Tổng chu vi của các hình vuông đó bằng \(a + b\sqrt 2 ,\,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \(P = a + b\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 12

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728727

Giải chi tiết

Gọi \({a_1} = 1;\,{a_2};\,{a_3};...;\,\,{a_n}..\). lần lượt là cạnh của các hình vuông thứ \(1\), thứ \(2\) … thứ \(n\)….

Ta có \({a_2} = \dfrac{1}{2}\sqrt 2 = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\({a_3} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\)

\({a_4} = \dfrac{1}{4}.\sqrt 2 = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^3}\)

…

\({a_n} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}}\)

…

Gọi \({S_n}\) là tổng các chu vi của \(n\) hình vuông

Ta có \({S_n} = 4 + 4.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + 4.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + ... + 4.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} + ...\)

Ta thấy đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 4\) và \(q = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên

\(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \dfrac{4}{{1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \)

Vậy \(P = a + b = 12\).

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.